2020-02-14
На горизонтально расположенным отрезок практически нерастяжимой нити длиной $L$ нанизаны $N$ одинаковых бусинок, которые могут скользить по нему без трения, упруго ударяясь друг о друга и о места закрепления концов нити. Полная кинетическая энергия бусинок равна $E$. Найдите силу натяжения нити. Концы нити прикреплены к двум упругим массивным телам, взаимодействия этих тел друг с другом и с другими телами пренебрежимо мало. Сила тяжести отсутствует.
Решение:
При лобовом ударе одинаковых упругих шаров они обмениваются скоростями. Поэтому можно считать, что бусинки просто "проскакивают" друг сквозь друга, как будто каждая бусинка летает от одного конца нити до другого, не меняя скорости, а других бусинок нет вовсе. Если бусинка имеет скорость $v$, она при ударе о массивное тело передает ему импульс $2mv$. За большой интервал времени $T$ выбранная бусинка пролетит расстояние $vT$, произведя $\frac{vT}{2L}$ ударов об одно массивное тело. Таким образом, массивное тело за время $T$ получит от одной бусинки импульс
$2mv \frac{vT}{2L} = mv^{2} \frac{T}{L}$.
Суммируя импульсы, передаваемые всеми бусинками, и разделив на длительность интервала времени, найдем силу, действующую на массивное тело:
$F = \frac{ \sum m_{i}v_{i}^{2} \cdot \frac{T}{L} }{T} = \frac{2E}{L}$.
С такой по величине силой и будет натянута нить.
В ответ не попала масса бусинки и число бусинок -важна только их полная кинетическая энергия.