2020-02-14
Проволока изогнута в форме окружности и зафиксирована (рис.). Вдоль нее может двигаться маленькая бусинка, на которую действуют силы только со стороны проволоки. Вдоль прямой проволоки бусинка движется равномерно, а при движении по криволинейному участку возникает сила трения скольжения с коэффициентом $\mu = 0,05$. В начальный момент бусинка находилась в точке А и имела скорость $v_{0} = 1 м/с$. Найдите, какой будет скорость бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке A. Пусть теперь проволока имеет форму плоской замкнутой кривой (рис.). Найдите в этом случае скорость бусинки, когда она в первый раз снова окажется в исходной точке В.
Решение:
Запишем второй закон Ньютона для торможения бусинки на малом участке проволоки с радиусом кривизны $R$:
$m \frac{dv}{dt} = - \mu m \frac{v^{2} }{R}$.
Пусть $\phi$ - угловой путь бусинки, тогда его малое приращение составляет
$d \phi = | \omega | dt = \frac{v}{R} dt$,
где $\omega$ - угловая скорость бусинки. Отметим, что знак модуля соответствует определению углового пути (а не перемещения). Исключая $R$ из приведенных уравнений, получим
$\frac{dv}{v} = - \mu d \phi$,
откуда
$v = v_{0} e^{ - \mu \phi }$.
При вычислении углового пути $\phi$ следует складывать все угловые отклонения вектора скорости бусинки без учета направления отклонения. По заданным рисункам находим, что вектор скорости бусинки пройдет, соответственно, угловые пути $\phi_{1} = 2 \pi$ и $\phi_{2} = 13 \pi$, прежде чем бусинка снова окажется в исходной точке. Отсюда находим
$v_{1} = v_{0} e^{ - \nu \phi_{1}} = 0,73 м/с, v_{2} = v_{0} e^{- \mu \phi_{2}} = 0,13 м/с$.