2020-02-12
Динамометр "гимназический" представляет собой подставку массой $M = 0,5 кг$, к которой при креплена пружинка массой $m = 0,1 кг$, содержащая много одинаковых витков (см. рисунок). Динамометр тянут за один из крючков силой $F = 1 Н$, направленной вдоль оси пружинки. Что показывает динамометр? Трения между подставкой и столом, а также между пружинкой и подставкой нет.
Решение:
Разберемся для начала с пружиной - динамометр "показывает" именно растяжение пружины.
Если один конец пружины закрепить, а за другой конец тянуть с силой $F$, то растяжение составит $x = F/k$, где $k$ - жесткость пружины. При этом на пружину действуют две силы, направленные в противоположные стороны, а сама пружина неподвижна.
Рассмотрим более сложный случай: силы $F_{1}$ и $F_{2}$ "тянут" пружину за ее концы в разные стороны - теперь пружина движется с ускорением
$a = \frac{F_{1} - F_{2} }{m}$
(после того как движение установится и витки пружины перестанут менять свои деформации, можно считать ее твердым телом). Теперь натяжение вдоль пружины уже не постоянно, оно меняется от $F_{1}$ до $F_{2}$ линейно по числу витков. Легко доказать, что в этом случае можно использовать "среднее" натяжение $F_{ср} = \frac{F_{1} + F_{2}}{2}$, и растяжение будет равно
$x = \frac{F_{ср}}{k} = \frac{F_{1} + F_{2} }{2k}$.
Если силу $F$ приложить к корпусу динамометра, то на прикрепленный к нему конец пружины будет действовать сила
$f_{1} = ma = \frac{Fm}{M + m} = \frac{1}{6} Н$.
Свободный конец пружины не дает "добавки", т.е. $f_{2} = 0$. Тогда растяжение пружины динамометра соответствует силе
$f = \frac{f_{1} + f_{2} }{2} = \frac{1}{12} Н$.
Столько он и покажет.
Если же силой $F = 1 Н$ действовать на свободный конец пружины, то со стороны подставки на второй конец пружины подействует сила, равная
$F \frac{M}{M + m} = \frac{5}{6} Н$,
и средняя сила натяжения пружины будет
$f_{ср} = \frac{1 + \frac{5}{6} }{2} Н = \frac{11}{12} Н$.
Столько и покажет динамометр в этом случае.