2020-02-12
Найдите ускорение оси блока О в системе, состоящей из невесомых блоков, легких нерастяжимых нитей и грузов, массы которых указаны на рисунке. Трением пренебречь. Ускорение свободного падения равно $g$. Участки нитей, не лежащие на блоках, вертикальны.
Решение:
Поскольку нити и блоки невесомы и трения нет, сила натяжения нити $T$ должна быть одинакова вдоль всей длины нити (рис.). В проекции на вертикальную ось х уравнение движения невесомого блока О имеет вид
$2T - T = 0 \cdot a_{O} = 0$,
где $a_{O}$ - искомое ускорение оси этого блока. Отсюда следует, что сила натяжения нити равна нулю и каждый из грузов падает под действием только силы тяжести с ускорением $g$:
$T = 0, a_{1} = a_{2} = a_{3} = g$.
Из условия нерастяжимости нитей можно получить уравнение кинематической связи ускорений грузов $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ и ускорения оси интересующего нас блока $a_{O}$. Для этого выразим постоянную длину нити $l$ через координаты грузов и оси блока:
$l = x_{1} + x_{2} + (x_{2} - x_{O}) + (x_{3} - X_{O}) + x_{3} + X_{O} + const = x_{1} + 2x_{2} + 2x_{3} - x_{O} + const$
(здесь $const$ включает в себя длины участков нитей, лежащих на блоках и соединяющих блоки с грузами). Дифференцируя это соотношение два раза по времени, получаем связь ускорений:
$a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} - a_{O} = 0$,
откуда
$a_{O} = a_{1} + 2a_{2} + 2a_{3} = g + 2g + 2g = 5g$.
Итак, ось блока О движется вертикально вниз с ускорением $a_{O} = 5g$.