2020-02-12
Плоская волна длиной $\lambda = 0,5 мм$ падает перпендикулярно на непрозрачный экран, в котором прорезаны четыре параллельные щели шириной $d = 0,2 мм$ каждая, а расстояние между соседними щелями $D = 5 мм$. Вначале стандартный вопрос -найдите угол между нормалью к экрану и направлением на первый минимум излучения. Затем закроем одну из щелей (конечно же, не крайнюю). В каком направлении теперь наблюдается первый минимум? Во сколько раз отличаются интенсивности излучения в главном максимуме и в этом минимуме? ("Интенсивность" - это мощность.)
Решение:
Для стандартного случая первый минимум наблюдается при условии
$D \sin \alpha = \frac{ \lambda }{4}$, откуда $\sin \alpha = \frac{ \lambda }{4D} = \frac{1}{40}, \alpha \approx 1,5^{ \circ}$
Пусть закрыта щель номер 3 (рис.). Будем считать каждую незакрытую щель точечным источником При наблюдении издали амплитуды волн получаются одинаковыми, допустим - единичными (все равно нам нужно найти отношение освещенностей в двух случаях). Предположим, волна от щели 2 запаздывает на угол $\phi$, тогда запаздывание волны от щели 4 составит $3 \phi$. Итак, нам нужно сложить изображенные на рисунке векторы и выразить амплитуду суммы. Сделаем это по проекциям на оси $x$ и $y$:$\sin \phi + \sin 3 \phi$ и $1 + \cos \phi + \cos 3 \phi$. Для квадрата амплитуды получим
$(1 + \cos \phi + \cos 3 \phi )^{2} + ( \sin \phi + \sin 3 \phi )^{2} = 1 + \cos^{2} \phi + \cos^{2} 3 \phi + 2 \cos \phi + 2 \cos 3 \phi + 3 \cos \phi \cos 3 \phi + \sin^{2} \phi + \sin^{2} 3 \phi + 2 \sin \phi \sin 3 \phi = 3 + 2( \cos \phi + \cos 2 \phi + \cos 3 \phi )$.
Исследуем выражение в скобках - нас интересует его минимум. Можно построить график, а можно посчитать производную по $\phi$ и приравнять ее к нулю:
$( \cos \phi + \cos 2 \phi + \cos 3 \phi )^{ \prime} = - \sin \phi - 2 \sin 2 \phi - 3 \sin 3 \phi = 0$.
Если $\sin \phi \neq 0$, то получим уравнение $6 \cos^{2} \phi + 2 \cos \phi - 1 = 0$, откуда
$\cos \phi = \frac{-1 \pm \sqrt{7} }{6}$,
$\cos \phi_{1} = - 0,6$ и $\phi_{1} = 2,22$ рад,
$\cos \phi_{2} = -0,275$ и $\phi_{2} = 1,29$ рад.
Второй корень дает более глубокий минимум, да он и ближе к "нулевому" направлению, поэтому имеет полное право именоваться "первым" минимумом. Квадрат амплитуды для этого угла составляет 0,37. Квадрат амплитуды в главном максимуме равен $З^{2} = 9$. Итак, отношение освещенностей равно
$\frac{E_{max} }{E_{min} } = \frac{9}{0,37} \approx 25$.