2020-02-08
В высоком вертикальном цилиндрическом сосуде диаметром $D$, заполненном водой плотностью $\rho$, находится толстый тяжелый поршень массой $M$ (см. рисунок), плот но прилегающий к боковым стенкам (вода через просвет между поршнем и стенками не протекает). По оси поршня сделано отверстие малого диаметра $d$ ($d \ll D$), через которое вода может перетекать из одной части сосуда в другую. Поршень отпускают, и через некоторое время его движение становится равномерным. Найдите скорость установившегося движения поршня. Вязкость жидкости невелика. Толщина поршня $h$.
Решение:
Обозначим скорость установившегося движения поршня через $v$. Скорость движения воды в отверстии во много раз больше - она приблизительно равна $\frac{vD^{2}}{d^{2} }$ (мы не будем делать различий между величинами $D^{2}$ и $(D^{2} - d^{2})$ - по условию диаметр дырки во много раз меньше диаметра поршня). Вода движется быстро только в отверстии, а во всех других местах ее скорость мала. На воду со стороны поршня действует вниз сила $F = Mg - F_{A} = Mg - \rho Shg$, которая за малый интервал времени $\tau$ придает большую скорость массе воды $m = \rho Sv \tau$:
$F \tau = \frac{mvD^{2}}{d^{2} } = \frac{ \rho Sv^{2} \tau D^{2} }{d^{2} }$.
Отсюда мы выразим скорость движения поршня:
$v = \frac{d}{D} \sqrt{ \frac{Mg - \rho Shg}{ \rho S}} = \frac{d}{D} \sqrt{gh \left ( \frac{ \rho_{п} }{ \rho} - 1 \right ) }$,
где $\rho_{п}/ \rho$ - отношение плотности материала поршня к плотности воды. Ответ можно записать и по-другому - через непосредственно заданные в условии задачи величины:
$v = \frac{d}{D} \sqrt{gh \left ( \frac{4M}{ \rho \pi D^{2}h } - 1 \right ) }$.
Характер движения жидкости сильно зависит от формы "входа" отверстия и от вязкости жидкости, поэтому приведенное решение носит очень приблизительный характер.