2020-02-08
На гладком горизонтальном столе находится тележка массой $M$, на которой вертикально стоит велосипедное колесо массой $3M$ (рис.). Коэффициент трения между колесом и тележкой $\mu$. К тележке прикладывают постоянную по величине горизонтальную силу, направленную параллельно плоскости колеса. При какой максимальной величине этой силы колесо сможет двигаться без проскальзывания относительно тележки? Считайте, что вся масса колеса сосредоточена на максимальном расстоянии от его центра - на внешней окружности.
Решение:
Колесо движется под действием силы трения $f$ (рис.). Ускорение его центра масс при этом составляет $a_{ц} = \frac{f}{3M}$. Кроме поступательного движения с этим ускорением, колесо будет закручиваться с постоянным угловым ускорением $\epsilon$ против часовой стрелой. Определим это угловое ускорение. Можно воспользоваться уравнением моментов сил (если знаете, что такое момент инерции и как с ним обращаться), но можно применить и закон сохранения энергии. Для этого достаточно знать, что энергия обруча складывается из энергии, связанной с поступательным движением центра масс, и энергии, связанной с вращением вокруг центра масс (центра "обруча"). Первое слагаемое равно $\frac{3M v^{2}}{2}$, второе составляет $\frac{3M \omega^{2} R^{2}}{2}$ - все точки обода колеса имеют одинаковые по величине ($v = \omega R$) скорости относительно центра. Работа силы $f$ за время $\tau$ равна приращению энергии обруча:
$f \left ( \frac{a_{ц} \tau^{2} }{2} + \frac{ \epsilon R \tau^{2} }{2} \right ) = \frac{3Ma_{ц}^{2} \tau^{2} }{2} + \frac{3M \epsilon^{2}R^{2} \tau^{2} }{2}$,
откуда (подставив значение $a_{ц}$) получим
$\epsilon R \frac{f}{3M} = a_{ц}$,
Условие отсутствия проскальзывания обруча относительно тележки можно записать в виде
$a_{т} = a_{ц} + \epsilon R$, или $\frac{F - f}{M} = \frac{2f}{3M}$.
Отсюда находим искомое значение силы $F$:
$F = \frac{5f}{3} < \frac{5}{3} 3 \mu Mg$, или $F_{max} = 5 \mu Mg$.