2020-02-08
На рисунке показан профиль гладкой горки, по которой скользит без начальной скорости тело маленького размера. Найдите максимальную величину ускорения тела. Найдите также максимальную перегрузку, действующую на тело при таком движении (перегрузка показывает, во сколько раз вес тела превышает действующую на него силу тяжести).
Решение:
Чертеж довольно мелкий, и получить хорошую точность очень трудно - мы и надеяться не будем, а решим задачу очень приближенно. При движении тела максимальная скорость получится внизу. По чертежу определим высоту горки: $h \approx 50 м$ и найдем эту скорость из закона сохранения энергии:
$mgh = \frac{mv^{2} }{2}, v = \sqrt{2gh} \approx 32 м/с$.
Опять же из чертежа определим радиус кривизны горки в нижней части: у нас получилось $R = 30 м$ и вычислим центростремительное ускорение тела в нижней части горки:
$a = \frac{v^{2} }{R} \approx 33 м/с^{2}$.
Это значение существенно превышает величину ускорения свободного падения $g = 10 м/с^{2}$, и можно считать, что максимальная перегрузка и максимальное ускорение достигаются практически в этой нижней точке. Таким образом, максимальное ускорение
$a_{max} = a \approx 33 м/с^{2}$,
а максимальную перегрузку найдем из уравнения второго закона Ньютона:
$N - mg = ma_{max}, N = mg (g + a_{max} ), \frac{N}{mg} \approx 4,3$.