2020-01-22
Спутник движется вокруг Земли на высоте нескольких десятков километров. Когда начали наблюдение за ним, высота спутника за один оборот уменьшалась на 1 метр. Оцените число оборотов спутника до падения его на Землю. Землю считайте совершенно круглой, а температуру и газовый состав атмосферы - неизменными на всех высотах.
Решение:
Сделаем некоторые упрощающие предположения. Будем считать, что высота спутника над Землей $h$ существенно меньше радиуса Земли, а величина ускорения свободного падения $g$ неизменна. Предположим также, что изменение высоты спутника за один виток $\Delta h$ существенно меньше высоты $h$ - при этом орбиту можно считать круговой и скорость движения неизменной. Тогда изменение энергии спутника за один виток связано с изменением высоты соотношением $\Delta E = mg \Delta h$. Величина силы сопротивления пропорциональна плотности $\rho$ воздуха, значит, $\Delta E \sim \rho$.
Изменение давления воздуха равно
$\Delta p = \frac{RT}{M} \Delta \rho = \rho g \Delta h$,
где $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура воздуха, $M$ - его молярная масса. Следовательно, $\Delta \rho \sim \rho^{2}$. Запишем это иначе:
$- \frac{ \Delta \rho}{ \rho^{2} } = \Delta \left ( \frac{1}{ \rho} \right ) = const$.
Это означает, что $1/ \rho$ изменяется на одну и ту же вели чину за каждый виток. Поэтому полное число витков $N$ связано с полным изменением плотности газа от $\rho_{верх}$ до $\rho_{0}$ соотношением
$N \Delta \left ( \frac{1}{ \rho} \right ) = \frac{1}{ \rho_{верх} } - \frac{1}{ \rho_{0} } \approx \frac{1}{ \rho_{верх} }$
(плотность газа на большой высоте во много раз меньше, чем у поверхности Земли).
Для верхнего витка имеем
$\Delta \left ( \frac{1}{ \rho} \right ) = \frac{ \Delta \rho}{ \rho_{верх}^{2} } = \frac{Mg \Delta h}{ \rho_{верх} RT }$.
Подставляя, получим оценку искомого числа оборотов спутника:
$N \approx \frac{RT}{Mg \Delta h} \approx 10^{4}$ витков.