2020-01-22
В сеть переменного тока (220 В, 50 Гц) включили последовательно соединенные конденсатор емкостью 10 мкФ и нагреватель сопротивлением 1000 Ом. Какую катушку следует подключить параллельно нагревателю, чтобы ток через него был максимальным? Чему равна величина этого тока?
Решение:
Будем решать эту задачу "задом наперед" - зададим величину напряжения $U$ на резисторе (нагревателе сопротивлением $R$), вычислим напряжение на $LCR$-цепи и найдем условия, при которых оно получится поменьше. Ток через резистор равен $I_{R} = \frac{U}{R}$ (см. рисунок), ток через катушку отстает на $90^{ \circ}$ по фазе, а его величина составляет $I_{L} = \frac{U}{ \omega L}$. Их суммарный ток $I$ течет и через конденсатор. Найдем впрок значения косинуса и синуса угла $\alpha$:
$\cos \alpha = \frac{U}{I \omega L}, \sin \alpha = \frac{U}{IR}$.
Напряжение на конденсаторе равно $U_{C} = \frac{I}{ \omega C}$ и отстает по фазе на $90^{ \circ}$ от тока $I$. Найдем величину суммарного напряжения - на нашей картинке эго сумма "векторов" $U$ и $U_{C}$. Удобно разложить "вектор" $U_{C}$ на составляющие вдоль "вектора" $U$ и перпендикулярно ему: $U_{C} \cos \alpha$ и $U_{C} \sin \alpha$. Подставляя значения синуса и косинуса, найдем величину полного напряжения:
$U_{0} = \sqrt{(U_{C} \cos \alpha - U)^{2} + (U_{C} \sin \alpha )^{2}} = U \sqrt{ \left ( \frac{1}{ \omega^{2}LC } - 1 \right )^{2} + \frac{1}{ ( \omega CR)^{2} } }$.
Мы можем выбирать величину $L$, стараясь получить $U_{0}$ поменьше. Ясно, что минимум будет при $\omega^{2}LC = 1$ (резонанс!), или
$L = \frac{1}{ 4 \pi^{2}f^{2}C} = 1Гн$.
Такой выбор индуктивности обеспечивает максимальный ток через нагреватель:
$I_{R} = \frac{U}{R} = U_{0} \omega C = U_{0} \cdot 2 \pi fC \approx 0,7 А$.
Интересно, что при резонансе ток через резистор не зависит от его сопротивления (объяснение - при увеличении $R$ возрастает и добротность контура, т.е. увеличивается амплитуда напряжения на резисторе).