2020-01-22
Вертикально расположенный цилиндрический магнит создает магнитное поле. Величина индукции поля над магнитом на его оси меняется с высотой в некоторой заданной области по линейному закону $B(h) = B_{0}( 1 - ah)$. Точно на оси расположено маленькое тонкое непроводящее колечко диаметров $d$ и массой $m$, по которому равномерно распределен заряд $Q$. Плоскость колечка перпендикулярна оси магнита. С какой угловой скоростью нужно закрутить колечко в горизонтальной плоскости вокруг оси, чтобы оно падало с малым ускорением?
Решение:
Вращающееся заряженное колечко очень похоже на кольцевой ток. Сила со стороны неоднородного магнитного поля в основном растягивает колечко, но есть и вертикальное воздействие, связанное с наличием горизонтальной проекции $B_{г}$ вектора магнитной индукции при некотором удалении от оси.
Для нахождения $B_{г}$ запишем выражение для магнитного потока, пронизывающего очень тонкий цилиндр высотой $\Delta h$ и диаметром $d$, причем $\Delta h \ll d$. Потоки через торцы цилиндра равны соответственно
$\Phi_{1} = B(h) \frac{ \pi d^{2} }{4} = B_{0} (1 - ah) \frac{ \pi d^{2} }{4}$,
$\Phi_{2} = B(h - \Delta h) \frac{ \pi d^{2} }{4} = B_{0} (1 - ah - a \Delta h) \frac{ \pi d^{2} }{4}$,
а через боковую поверхность -
$\Phi_{бок} = \Phi_{2} - \Phi_{1} = B_{г} \pi d \Delta h$.
Отсюда
$B_{г} = B_{0} \frac{ad}{4}$.
Сила, действующая на "ток" $I = \frac{Q \omega}{ 2 \pi }$ по вертикали, равна
$F_{магн} = B_{г} lnd = \frac{B_{0} ad^{2} Q \omega }{8}$.
Ускорение колечка будет малым, если магнитная сила компенсирует силу тяжести:
$F_{магн} = mg$,
откуда для угловой скорости колечка получаем
$\omega = \frac{8mg}{B_{0} ad^{2} Q }$.
3aметим, что угловая скорость колечка не будет оставаться неизменной - при движении в таком магнитном поле возникает и вихревое электрическое поле, которое будет либо раскручивать, либо тормозить колечко. Этот эффект зависит от величины вертикальной скорости колечка.