2020-01-22
В высоком цилиндрическом сосуде с площадью основания $S =20 см^{2}$ под легким поршнем находится $m = 9 г$ воды (рис.). Воду начинают нагревать с помощью нагревателя, мощность которого $P = 100 Вт$. Нарисуйте график зависимости вертикальной координаты поршня от времени и найдите максимальную скорость поршня. Воздуха под поршнем нет, стенки и поршень тепла не проводят. Атмосферное давление $p_{0} = 1 атм$, удельная теплоемкость воды $c = 4200 Дж/(кг \cdot К)$, удельная теплота парообразования $r = 2,26 \cdot 10^{6} Дж/кг$.
Решение:
Пока вода не нагреется до температуры кипения $t_{к} = 100^{ \circ} С$, поршень будет неподвижным ($v_{1} = 0$). Если начальную температуру считать равной $t_{0} = 20^{ \circ} С$, то время нагрева составит
$\tau_{1} = \frac{cm(t_{к} - t_{0} )}{P } \approx 30 с$.
При достижении температуры кипения давление насыщенных паров воды станет равным атмосферному, и поршень поедет вверх. Смещение поршня будет определяться количеством испарившейся воды. За время $\Delta \tau$ в пар превратится масса воды
$\Delta m = \frac{P \Delta \tau}{r}$.
Эта порция займет объем
$\Delta V = \frac{ \Delta m}{M} \frac{RT}{p_{0} }$,
где $M = 18 г/моль, T = 373 К$. Скорость перемещения поршня будет равна
$v_{2} = \frac{ \Delta V}{S \Delta \tau} = \frac{PRT}{rSMp_{0} } \approx 0,04 м/с$.
Вся вода испарится за время
$\tau_{2} - \tau_{1} = \frac{mr}{P} = 203,4 с$.
После того как под поршнем окажется только водяной пар (это - трехатомный газ), изменение объема будет связано с увеличением температуры газа при постоянном давлении. Теплоемкость в расчете на моль для трех атомного газа в этом случае равна $C_{p} = C_{V} + R = 4R$. Тогда
$\Delta T = \frac{Q}{ \nu C_{p} } = \frac{P \Delta \tau}{ \frac{m}{M} 4R }, \Delta V = \frac{m}{M} \frac{R \Delta T}{p_{0} } = \frac{P \Delta \tau}{4p_{0} }$,
$v_{3} = \frac{ \Delta V}{S \Delta \tau} = \frac{P}{4Sp_{0} } = 0,125 м/с = 3v_{2}$.
График зависимости координаты поршня от времени $\tau$ приведен на рисунке