2020-01-22
На горизонтальной поверхности стола находится гладкая горка высотой $H$ и длинной основания $L$, которая может свободно скользить по столу (см. рисунок ). На эту горку наезжает маленькая тележка, масса которой в 3 раза меньше массы горки. Скорость тележки $v$. На сколько сдвинется горка к тому моменту, когда тележка ее покинет? Время пребывания тележки на горке $T$.
Решение:
Нам придется рассмотреть отдельно два случая: либо при данных в условии значениях скорости тележки и высоты горки тележка через горку переедет, либо нет ( съедет обратно ).
Найдем такую скорость тележки $v_{0}$, что при $v < v_{0}$ она горку не переедет, а при $v > v_{0}$ - переедет. Для $v = v_{0}$ скорость тележки на вершине горки равна скорости горки $v_{г}$. Запишем законы сохранения импульса и энергии:
$mv_{0} = mv_{г} + 2mv_{г}, \frac{mv_{0}^{2} }{2} = \frac{mv_{г}^{2} }{2} + mgH + \frac{3mv_{г}^{2} }{2}$,
откуда
$v_{0} = \sqrt{ \frac{8}{3} gH }$.
Если $v < v_{0}$, то получить ответ совсем просто. Смещение центра масс системы по горизонтали за время $T$ составляет
$l_{цм} = v_{цм}T = \frac{1}{4}vT$.
Но тележка покидает горку в том же месте горки, в котором и въезжает на нее. Следовательно, к интересующему нас моменту горка проедет столько же, сколько и центр масс системы:
$l_{г1} = \frac{1}{4}vT$.
В том случае, когда $v > v_{0}$, горка сдвинется относительно центра масс системы назад на величину $\frac{Lm}{m + 3m} = \frac{1}{4}L$. Тогда полный ее сдвиг будет равен
$l_{г2} = l_{цм} - \frac{1}{4}L = \frac{1}{4} (vT - L)$.
Ясно, что при заданных размерах горки время $T$ не может быть выбрано произвольно - оно определяется не только величиной $v$, но и зависит от формы горки.