2020-01-22
Две большие квадратные непроводящие пластины, площадью $S$ каждая, расположены параллельно на малом расстоянии $d$ друг от друга. Пластины равномерно заряжены по поверхностям зарядами $Q$ и $-Q$. Найдите разность потенциалов между центром и углом одной из пластин.
Решение:
Напряженность электрического поля в середине между пластинами (на самом деле не только в середине, а почти повсюду - лишь бы не было слишком близко к краям пластин) определяется как обычно:
$E = \frac{Q}{ \epsilon_{0}S }$.
Поэтому разность потенциалов между серединами пластин равна
$\Delta \phi_{0} = Ed = \frac{Qd}{ \epsilon_{0}S }$.
Перпендикулярная составляющая напряженности около угла одной из пластин вчетверо меньше поля в центре - это можно показать, дополнив наш "конденсатор" еще тремя парами заряженных аналогично пластин так, чтобы интересующий нас угол оказался в центре получившегося большого "конденсатора". При этом поле, сод ной стороны, увеличилось в четыре раза0 с другой - оказалось в центре. Итак, разность потенциалов между пластинами, измеренная в области угла, составляет
$\frac{1}{4} \Delta \phi_{0} = \frac{Qd}{4 \epsilon_{0}S }$.
Пройдем теперь по такому замкнутому контуру: от центра одной пластины к ее углу, затем в такой же угол другой пластины, далее в ее центр и, наконец, в начальную точку. Интересующую нас разность потенциалов $\Delta \phi$ между центром пластины и ее углом мы прошли два раза (со знаками все в порядке - заряд второй пластины противоположен заряду первой, но и направление перемещения обратное). Полная работа сил электрического поля равна нулю:
$2 \Delta \phi - \Delta \phi_{0} + \frac{1}{4} \Delta \phi_{0} = 0$,
тогда
$\Delta \phi = \frac{3}{8} \Delta \phi_{0} = \frac{3Qd}{8 \epsilon_{0}S }$.