2020-01-22
Множество маленьких стальных шариков находятся на гладком дне большой квадратной коробки площадью $S$. Шарики хаотически двигаются по дну, упруго соударяясь со стенками и друг с другом. Полная кинетическая энергия шариков $W$, все удары абсолютно упругие. Найдите силу, действующую со стороны шариков на одну из стенок. Какой станет эта сила, если, подвергнув коробку очень медленной деформации, увеличить размеры каждой стороны квадрата в два раза?
Решение:
Для нахождения силы, действующей на стенку коробки, воспользуемся приемом, который в школьном учебнике используется для нахождения давления газа на стенку сосуда - там тоже сила возникает при многочисленных ударах хаотически движущихся (но не в плоскости дна коробки, а в объеме всего сосуда) шариков. При ударе шарика о стенку происходит зеркальное отражение и меняется только знак перпендикулярной стенке проекции скорости. Обозначим ее $v_{x}$, а массу шарика $m$, тогда при ударе стенка получит импульс $2mv_{x}$. За малое время $\Delta t$ в стенку ударятся те шарики, которые окажутся на расстоянии меньшем $v_{x} \Delta t$ и двигаются в направлении стенки. Таких шариков будет $\frac{N av_{x} \Delta t}{2S}$, где $N$ - общее число шариков, $a = \sqrt{S}$ - сторона дна коробки, и переданный стенке за это время импульс составит
$p = 2mv_{x} \frac{N}{2S} av_{x} \Delta t$.
Сила, действующая на стенку, определяется через этот импульс:
$F = \frac{p}{ \Delta t}$.
Учтем еще, что полная энергия шариков определяется их движением в двух направлениях:
$W = \frac{2Nmv_{x}^{2} }{2}$.
И тогда
$F = \frac{W}{a} = \frac{W}{ \sqrt{S} }$.
При медленном увеличении размеров коробки суммарная энергия шариков уменьшается - при ударе шарика об "убегающую" стенку скорость отскока получается меньшей, чем до удара. Собственно, именно этим н объясняется охлаждение газа при его расширении без подвода тепла Оценить это уменьшение можно разными способами. Например, воспользовавшись уравнением адиабаты (если вы с ним знакомы) - правда, там кое-что придется поправить, наш "газ" не совсем обычный, его молекулы имеют не три, (как обычно), а только две степени свободы из-за движения в плоскости. Но можно получить результат и напрямую - изменение энергии шариков равно работе сил, с которыми они действуют на стенки Итак, пусть две соседние стороны квадрата увеличились на очень малые величины $\Delta a$ и стали равны $a + \Delta a$. Работа совершалась только над движущимися стенками и составила
$- \Delta W = 2F \Delta a = 2W \frac{ \Delta a}{a}$.
Откуда получаем
$- \frac{ \Delta W}{W} = 2 \frac{ \Delta a}{a}$.
Такая связь между относительными изменениями величин имеет место при условии $W \sim \frac{1}{a^{2}}$. Значит, при увеличении стороны квадрата в два раза (как в условии), полная энергия уменьшится в четыре раза. Тогда полная сила, действующая на боковую сторону коробки, станет в 8 раз меньше начальной и составит
$F_{1} = \frac{W}{8 \sqrt{S} }$.