2020-01-22
В середине между пластинами незаряженного плоского конденсатора находится неподвижный электрон. На конденсатор подают переменное напряжение высокой частоты: $U = U_{0} \sin \omega t$. Через какое время электрон достигнет одной из пластин конденсатора? Расстояние между пластинами $d$, масса электрона $m$, его заряд $q$. Влиянием силы тяжести пренебречь. Считайте, что за один период переменного напряжения электрон смещается на расстояние много меньшее, чем $d$.
Решение:
При подаче на пластины переменного напряжения $U$ в конденсаторе возникает переменное электрическое поле
$E = \frac{U}{d}$,
и на электрон действует сила
$F=qE$,
под действием которого он движется с ускорением
$a = \frac{F}{m} = \frac{qU_{0} }{md} \sin \omega t$.
График зависимости $a(t)$ показан на рисунке красной линией. Зная график ускорения, несложно проследить за поведением скорости электрона. Вначале качественные соображения.
В течение первого полупериода ускорение положительно, и, следовательно, скорость от нулевого значения возрастает до некоторой величины $2v_{0}$ (см. черную линию на рисунке). В начале и в конце полупериода ускорения нулевые, и, следовательно, касательные к графику скорости в этих точках параллельны оси $t$ ($\frac{dv}{dt} = 0$).
В течение второго полупериода электрон движется с точно таким же, но отрицательным ускорением, поэтому, естественно, скорость упадет до нуля. Далее график повторяется с периодом $T = \frac{2 \pi}{ \omega}$. Таким образом, видно, что электрон, помимо переменной, имеет еще некоторую постоянную составляющую скорости $v_{0}$, причем направление такого "дрейфа" задается знаком ускорения в первый полупериод. В нашем случае направление положительное, т.е. электрон движется к пластине с более высоким потенциалом.
Интегрированием функции $a(t)$ определим точный вид зависимости $v(t)$ и найдем значение скорости дрейфа $v_{0}$:
$v(t) = \int_{0}^{t} a(t)dt = \int_{0}^{t} \frac{qU_{0} }{md} \sin \omega t dt = \frac{qU_{0} }{md \omega} \left . ( - \cos \omega t) \right |_{0}^{t} = v_{0} (1 - \cos \omega t)$,
где $v_{0} = \frac{qU_{0} }{md \omega}$ - скорость дрейфа электрона (постоянная составляющая скорости). Тогда время, через которое электрон достигнет пластины, будет равно
$t = \frac{d/2}{v_{0} } = \frac{md^{2} \omega }{2qU_{0} }$.