2020-01-22
Два замкнутых сверхпроводящих витка, каждый массой $m$, имеют индуктивности $L$ и $2L$. Витки насажены на гладкий горизонтальный немагнитный стержень, по которому они могут перемещаться, не меняя своей ориентации, а пространстве. Вначале витки удерживают на расстоянии $d$ друг от друга и по ним пропускают токи $I$ и $3I$ соответственно. Взаимная индуктивность витков в этом положении составляет $M = 0,3I$. Витки отпускают, и они разлетаются в разные стороны. Найдите максимальные значения скоростей витков.
Решение:
Из условия ясно, что токи витков текут в противоположных направлениях (отталкивание). Значит, добавки в магнитный поток каждого из витков от "соседа" вычитаются из собственных потоков.
Главная проблема состоит в том, чтобы рассчитать энергию магнитного поля в начальный момент, пока есть взаимное влияние витков. Когда витки разлетятся далеко и перестанут влиять друг на друга, расчет энергии поля будет совсем прост.
Для расчета энергии взаимодействующих витков предположим, что токи в них линейно спадают до нуля за время $\tau$ (например, из-за включения резисторов с изменяющимися по величине сопротивлениями), и найдем ЭДС индукции и работу, совершаемую вихревым электрическим полем:
$\mathcal{E}_{1} = L_{1} \frac{I_{1} }{ \tau} - M \frac{I_{2} }{ \tau} = L \frac{I}{ \tau} - M \frac{3I}{ \tau}$,
$\mathcal{E}_{2} = L_{2} \frac{I_{2} }{ \tau} - M \frac{I_{1} }{ \tau} = 2L \frac{3I}{ \tau} - M \frac{I}{ \tau}$,
$A_{1} = \mathcal{E}_{1} q_{1} = \mathcal{E}_{1} \frac{I_{1} }{2} \tau = \frac{LI^{2} }{2} - \frac{3MI^{2} }{2}$,
$A_{2} = \mathcal{E}_{2} q_{2} = \mathcal{E}_{2} \frac{I_{2} }{2} \tau = 9LI^{2} - \frac{3MI^{2} }{2}$.
Отсюда
$W_{нач} = A_{1} + A_{2} = 9,5LI^{2} - 3MI^{2} = 8,6LI^{2}$.
Для расчета энергии магнитного ноля после разлета витков нужно учесть, что магнитные потоки каждого витка не изменяются:
$L_{1}I_{1}^{*} = L_{1}I_{1} - MI_{2}$,
$L_{2}I_{2}^{*} = L_{2}I_{2} - MI_{1}$,
откуда получим
$I_{1}^{*} = 0,1I, I_{2}^{*} = 2,85I$.
Тогда конечная энергия поля будет равна
$W_{кон} = \frac{L_{1}I_{1}^{*2} }{2} + \frac{L_{2}I_{2}^{*2} }{2} = 8,13LI^{2}$.
Разность начальной и конечной энергий перешла в кинетическую энергию колец. Массы их одинаковы, значит, одинаковы и скорости тоже. Окончательно получим
$2 \frac{mv^{2} }{2} = W_{нач} - W_{кон} = 0,47LI^{2}$,
$v = \sqrt{ \frac{0,47LI^{2} }{m}} = 0,69 \sqrt{ \frac{L}{m} }$.