2020-01-22
В сосуд объемом $V = 1 л$, откачанный до очень низкого давления, попадает $m = 1 г$ воды. Для ее удаления используют адсорбирующее вещество, поглощающее свободные молекулы воды. Общая поверхность адсорбента $S = 100 м^{2}$, а полная поверхность, с которой испаряется вода, $s = 0,001 м^{2}$. Температура сосуде $t = +5^{ \circ} С$, давление насыщенных паров воды при этой температуре $p = 870 Па$. Через какое время весь пар будет поглощен адсорбентом? Считайте, что попадающая на поверхность адсорбента молекула воды обязательно им поглощается и больше свободной не становится. За какое время вся вода испарилась бы, если бы адсорбента не было?
Решение:
Эта задача требует не точного аналитического решения, а довольно грубой оценки - ведь из условия ясно, что многими существенными факторами нам предложено пренебречь.
Для начала найдем количество насыщенного водяного пара в этом сосуде и сравним его с количеством введенной в сосуд воды:
$\nu_{нас} = \frac{pV}{RT} \approx 4 \cdot 10^{-4} моль$.
Видно, что это очень малая часть всей воды в сосуде ($\nu_{нас} \approx 0,05 моль$), поэтому на второй вопрос уже можно ответить: никогда вода не испарилась бы вся, если бы не было адсорбента
Для расчета времени поглощения водяного пара адсорбентом будем считать, что пар все время насыщен. Тогда его концентрация равна
$n = \frac{p}{kT}$.
Выберем ось координат X перпендикулярной поверхности адсорбента, тогда число ударов молекул пара о поверхность площадью $\Delta S$ за время $\Delta t$ составит
$N_{уд} = \frac{1}{2} n \Delta S v_{x} \Delta t$,
а за общее время $\tau$ поглощения практически всех молекул -
$N_{общ} = \frac{1}{2} nSv_{x} \tau = \frac{1}{2} \frac{p}{kT} S \sqrt{ \frac{kT}{m_{0} } } \tau$.
После простых преобразований получаем
$\tau = \frac{2N_{общ} }{N_{A} } \frac{ \sqrt{MRT} }{pS} = 2 \frac{1}{18} \frac{ \sqrt{18 \cdot 10^{-3} \cdot 8,3 \cdot 278 } }{870 \cdot 100} \approx 10^{-5} с$.
Ответ получился бессмысленно малый – можно только утверждать, что при заданных условиях адсорбент поглотит большую часть молекул практически сразу. На самом деле адсорбент поглощает далеко не всякую молекулу, которая о него ударяется, так что процесс будет протекать гораздо дольше. Кроме того, когда молекул воды останется мало и пар перестанет быть насыщенным, процесс начнет замедляться и будет идти тем медленнее, чем меньше молекул останется в сосуде.