2020-01-22
Вертикальная труба частично заполнена водой с температурой $t_{0} = 0^{ \circ} С$ до высоты $H = 20 м$. На сколько изменится высота содержимого трубы при понижении температуры до $t_{1} = - 0,01^{ \circ} С$? Удельная теплота плавления льда $\lambda = 355 Дж/г$, плотность льда $\rho_{л} = 0,92 г/см^{3}$. Известно, что при изменении внешнего давления на $\Delta p$ температура плавления льда меняется на $\Delta T$, причем $\frac{ \Delta T}{T} = \left ( \frac{1}{ \rho_{в} } - \frac{1}{ \rho_{л} } \right ) \frac{ \Delta p}{ \lambda }$, где $T$ - температура смеси "лед - вода", а $\rho_{в}$ - плотность воды.
Решение:
Найдем избыточное давление $\Delta p_{1}$ (по отношению к 1 атм), которое соответствует изменению температуры плавления льда на $\Delta t_{1} = t_{1} - t_{0}$:
$\Delta p_{1} = \frac{ \lambda (t_{1} - t_{0} ) \rho_{в} \rho_{л} }{T_{0} ( \rho_{л} - \rho_{в} ) } = 1,41 \cdot 10^{5} Па$.
Этому давлению соответствует столб льда высотой
$H_{л} = \frac{ \Delta p_{1} }{ \rho_{л}g } = 15,64 м$.
Этот столб льда будет находиться в верхней части трубы, а ниже - вода. Высоту $H_{в}$ столба воды найдем из условия сохранения исходной массы воды
$\rho_{в}H = \rho_{л}H_{л} + \rho_{в}H_{в}$,
откуда
$H_{в} = H - \frac{ \rho_{л} }{ \rho_{в} } H_{л} = 5,61 м$.
Изменение высоты содержимого трубы составляет
$\Delta H = H_{л} + H_{в} - H = \frac{ \lambda (t_{0} - t-{1} ) }{T_{0}g } = 1,25 м$.