2020-01-22
Длинный брусок с квадратным торцом опущен в воду, так что одна из его длинных боковых граней находится над поверхностью воды и параллельна ей. В таком положении брусок свободно плавает. При какой плотности материала бруска это возможно?
Решение:
Брусок будет плавать в устойчивом положении, если при его отклонении на небольшой угол $\alpha$ возникает возвращающий момент сил.
Удобно моменты сил считать относительно продольной оси, проходящей через центр С торцевого сечения бруска (см. рисунок), так как относительно этой оси момент силы тяжести бруска равен нулю. Момент архимедовой силы, действующей на погруженную в воду часть бруска равен
$M = M_{OKD} - (M_{ABDN} - M_{ONE} )$.
Обозначим $M_{ABDN}$ через $M_{1}$, а $M_{OKD}$ - через $M_{2}$. Поскольку по модулю $M_{OKD} = M_{ONE} = M_{2}$, то положение бруска будет устойчивым, если $2M_{2} > M_{1}$. В свою очередь, имеем
$M_{1} = \rho g L ah \cdot l_{1}$,
где $\rho$ - плотность воды, $L$ - длина бруска, $l_{1} = \left ( \frac{a}{2} - \frac{h}{2} \right ) \alpha$,
$M_{2} = \rho g L \frac{1}{2} \frac{a}{2} \frac{a}{2} \alpha l_{2}$,
где
$l_{2} = \frac{2}{3} \frac{a}{2} + \left ( h - \frac{a}{2} \right ) \alpha$.
Неизвестную величину $h$ можно найти из условия
$\rho ahL = \rho_{x} a^{2} L$,
где $\rho_{x}$ - плотность бруска. Введем обозначение: $x = \frac{ \rho_{x}}{ \rho}$, тогда $h = xa$. С учетом этого условие устойчивости бруска примет вид
$x^{2} - \left ( 1 - \frac{ \alpha}{2} \right ) x + \frac{2 - 3 \alpha }{12} > 0$.
Поскольку $\alpha$ - малый параметр, решая это неравенство, получим
$0 < x < 0,21$ и $0,79 < x < 1$,
Так как плотность воды равна $\rho = 1 г/см^{3}$, имеем окончательно
$0 < \rho_{x} < 0,21 г/см^{3}$ и $0,79 г/см^{3} < \rho_{x} < 1 г/см^{3}$.