2020-01-22
Маленький деревянный шарик с помощью нерастяжимой нити длиной $l = 30 см$ прикреплен ко дну цилиндрического сосуда с водой. Расстояние от центра дна до точки закрепления нити $r = 20 см$. Сосуд раскручивают относительно вертикальной оси, проходящей через центр дна. При какой угловой скорости вращения нить отклоняется от вертикали на угол $\alpha = 30^{ \circ}$?
Решение:
Нить с шариком отклонится к оси вращения (см. рисунок). На шарик (в неподвижной системе отсчета) будут действовать три силы: сила Архимеда $\vec{F}_{A}$, сила натяжения нити $\vec{T}$ и сила тяжести $\vec{F}$ ( $F = \rho_{ш} Vg$, где $\rho_{ш}$ - плотность шарика, $V$ - его объем). Сумма проекций этих сил на вертикальную ось равна нулю:
$\rho_{в} Vg - \rho_{ш}Vg - T \cos \alpha = 0$,
где $\rho_{в}$ - плотность воды. Уравнение движения шарика по окружности радиусом $r - l \sin \alpha$ (такое движение вы звано вращением сосуда) имеет вид
$\rho_{ш} V \omega^{2} (r - l \sin \alpha ) = \rho_{в} V \omega^{2} (r - l \sin \alpha) - T \sin \alpha$.
Совместное решение двух уравнений позволяет найти $\omega$:
$\omega = \sqrt{ \frac{g tg \alpha }{r - l \sin \alpha} } = 10,6 с^{-1}$.