2020-01-22
В изображенной на рисунке системе нити не растяжимы, массы блоков и нитей пренебрежимо малы. Найдите ускорения подвижных блоков. Найдите также ускорение узелка А, завязанного на нити. Размеры блоков подобраны так, что свободные куски нитей вертикальны.
Решение:
Разберемся сначала с натяжением нитей (рис.). Обозначим силу натяжения в точке А через $T_{A} = T$, тогда в точке Б натяжение будет таким же: $T_{Б} = T_{A} = T$ (натяжения нити по обе стороны невесомого малого блока). Натяжение в точке В тоже получится равным $T$:
$T_{B} = T_{A} = T$ (с двух сторон невесомого нижнего блока).
Аналогично - для верхнего блока: $T_{Г} = T$.
Запишем уравнение второго закона Ньютона для малого блока (на него действуют только силы натяжения):
$T_{A} + T_{Б} - T_{Г} = T + T - T = 0$,
откуда
$T = 0$.
Получилось довольно любопытно - если массы блоков (и нитей) пренебрежимо малы, то натяжения в разных местах нити получаются совсем малыми - система "не держит" грузы. Ясно, что ускорения каждого из грузов и нижнего блока равны по величине $g$ и направлены вниз.
Найдем теперь ускорение малого блока - это можно сделать множеством способов. Приведем один из них, очень поучительный. Ясно, что ускорение блока можно найти из условия нерастяжимости нити. Нарисуем ось координат X, направленную вниз (рис.). Начало оси выберем напротив оси неподвижного блока, а координаты оси малого блока, верхнего груза и оси нижнего блока обозначим, соответственно, $x_{1}, x_{2}, x_{3}$. Тогда сумма длин вертикальных кусков нити будет равна
$l = (x_{1} - 0) + (x_{3} - 0) + (x_{3} - x_{1}) + (x_{2} - x_{1} ) = 2x_{3} + x_{2} - x_{1}$.
При движении (пока нить натянута) эта величина не меняется, т.е.
$2 \Delta x_{3} + \Delta x_{2} - \Delta x_{1} = 0$,
или
$2 \frac{gt^{2} }{2} + \frac{gt^{2} }{2} - \frac{at^{2} }{2} = 0$.
Отсюда
$a = 3g$
- малый блок имеет ускорение, равное $3g$ и направленное вниз.
С другой стороны, это ускорение равно полусумме ускорений точек нити слева и справа от блока:
$a = \frac{1}{2} (g + a_{A} )$.
Таким образом, ускорение узелка А равно
$a_{A} = 5g$
и тоже направлено вниз