2020-01-17
Конденсаторы, емкости которых $C$ и $2C$, заряжены каждый до напряжения $U_{0}$ и соединены последовательно "минусом" к "плюсу". К ним одновременно подключают две катушки: катушку индуктивностью $L$ к конденсатору большей емкости, а катушку индуктивностью $2L$ к разноименным концам батареи конденсаторов. Найдите максимальный ток каждой из катушек. Через какое время после включения ток первой катушки станет максимальным?
Решение:
Нарастание тока через катушку $L$ определяется напряжением конденсатора $2C$ (см. рисунок):
$LI_{1}^{ \prime} = - \frac{q_{2} }{2C}$.
Аналогично, для катушки $2L$:
$2L_{2}^{ \prime} = - \left ( \frac{q _{1}}{C} + \frac{q_{2} }{2C} \right )$.
Данные в задаче подобраны так, что эти токи нарастают после включения но одинаковым законам
$I_{1}^{ \prime} = I_{2}^{ \prime} = - \frac{U_{0} }{LC}$.
Но это еще не все. Конденсатор $C$ перезаряжается током катушки $2L$, а конденсатор $2C$ - суммой токов обеих катушек. При $I_{1} = I_{2}$ и $C_{1} = 2C_{2}$ получается, что напряжения конденсаторов меняются одинаково. Значит, токи катушек все время будут одинаковыми (а не только в течение малого отрезка времени после включения), одинаковыми будут и напряжения конденсаторов.
Максимальный ток $I_{m}$ (любой катушки) определим из закона сохранения энергии:
$\frac{CU_{0}^{2} }{2} + \frac{2CU_{0}^{2} }{2} = \frac{LI_{m}^{2} }{2} + \frac{2LI_{m}^{2} }{2}, I_{m} = U_{0} \sqrt{ \frac{C}{L}}$.
Чуть сложнее найти время нарастания тока катушки. Для катушки $2L$ (токи катушек одинаковы!) можно записать
$q_{C}^{ \prime} = - I, 2LI^{ \prime} = u_{1} + u_{2} = 2u_{1} = \frac{2q_{C} }{C}$.
Мы получили уравнение
$-I^{ \prime} + \frac{1}{LC} q_{C} = 0$, или $q_{C}^{ \prime \prime} + \frac{1}{LC} q_{C} = 0$.
совершенно такое же, как для простого контура $LC$. Значит, время нарастания тока равно четверти периода колебаний:
$\tau = \frac{1}{4} T = \frac{ \pi}{2} \sqrt{LC}$.