2020-01-17
В однородную жидкость с большим удельным сопротивлением погружены достаточно глубоко два одинаковых проводящих шара. Сопротивление, измеренное между шарами, оказалось равным $R$. Каким станет это сопротивление, если один из шаров заменить шаром вдвое меньшего радиуса? Жидкость смачивает шары.
Решение:
Рассмотрим сначала вспомогательную задачу, в проводящую жидкость глубоко погружен одни шар радиусом $r$, а второй "электрод" - очень большая концентрическая сфера - окружает этот шар, и нужно найти сопротивление жидкости, помешенной между двумя сферическими поверхностями. Пусть полный ток, отбираемый системой от источника, составляет $I$. Найдем необходимое напряжение источника.
Допустим, что тонкий сферический слой имеет радиусы $x$ и $x + dx$. Тогда разность потенциалов на этом слое равна
$dU = \frac{I \rho dx}{4 \pi x^{2}}$,
где $\rho$ - удельное сопротивление жидкости. Интегрируя в пределах от $r$ до бесконечности (радиус внешней сферы), получим напряжение:
$U = \frac{I \rho}{4 \pi r}$.
Тогда сопротивление составит
$R^{*} = \frac{U}{I} = \frac{ \rho}{4 \pi r}$.
Кстати, ответ этот можно получить и без интегрирования - при расчете емкости уединенной сферы проводятся практически те же вычисления, а ответ там известен. Видно, что сопротивление определяется околошаровым слоем - именно там самые большие плотности тока, а значит, и вклад в разность потенциалов наибольший. Ясно, что для исходного случая - два глубоко погруженных в жидкость шара - полное сопротивление равно сумме сопротивлений жидкости около шаров:
$R = R^{*} + R^{*} = 2R^{*}$.
Тогда для шаров разных радиусов
$R_{общ} = R^{*} + 2R^{*} = 1,5R$.
Заметим, что для решения этой задачи не обязательно находить величину $R^{*}$ - вполне достаточно из соображений размерности получить $R^{*} \sim \frac{1}{r}$.