2020-01-17
Тонкий длинный стержень шарнирно закреплен нижним концом на горизонтальной поверхности. Отклонив стержень от положения равновесия, ему дали упасть. Время падения составило при этом $T$. Каким стало бы это время, если бы нижний конец мог свободно скользить по плоскости?
Решение:
Вначале рассмотрим случай стержня, нижний конец которого закреплен шарнирно. Пусть от начального угла стержень опустился до $\alpha$. Изменение потенциальной энергии стержня при этом будет равно
$\Delta E_{p} = mg \frac{l}{2} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha )$,
где $l$ - длина стержня. Изменение кинетической энергии в этом случае составит
$\Delta E_{k} = E_{k} = \frac{1}{3}ml^{2} \frac{ \omega^{2} }{2}$.
где $\omega$ - угловая скорость вращения. Тогда
$\omega ( \alpha) = \sqrt{ \frac{3g}{l} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha ) }$.
В случае свободного стержня его центр масс движется вертикально вниз и стержень в целом вращается. Его кинетическую энергию можно записать в виде
$E_{k1} = \frac{1}{2}mv^{2} + \frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{12} \omega_{1}^{2}$.
Скорость $v$ и угловая скорость $\omega_{1}$ связаны между собой (скорость нижней точки стержня горизонтальна) соотношением
$v = \omega_{1} \frac{l}{2} \sin \alpha$.
Тогда
$E_{k1} = \frac{1}{2} m \omega_{1}^{2} \frac{l^{2} }{4} \sin^{2} \alpha + \frac{1}{2} \frac{ml^{2} }{12} \omega_{1}^{2}$.
Для угла $\alpha$ можно записать выражение для угловой скорости:
$\omega_{1}( \alpha) = \sqrt{ \frac{3g}{l} ( \cos \alpha_{0} - \cos \alpha ) \frac{4}{1 + 3 \sin^{2} \alpha } }$.
Время падения стержня - это время его поворота от $\alpha = \alpha_{0}$ до $\alpha = 90^{ \circ}$, т.е. оно определяется законом изменения $\omega( \alpha)$.
При малых углах $\alpha_{0}$ почти все время падения - это время набора угловой скорости, т.е. они определяются начальной фазой движения, поэтому
$\frac{4}{1 + 3 \sin^{2} \alpha } = \frac{4}{1 + 3 \sin^{2} \alpha_{0} }$,
и
$\frac{T_{1} }{T} = \frac{ \omega}{ \omega_{1} } \approx \sqrt{ \frac{1 + 3 \sin^{2} \alpha_{0} }{4} }$.
С учетом малости $\alpha_{0}$ получаем
$T_{1} = \frac{1}{2}T$.