2020-01-17
Концы тонкой и легкой паутинки закреплены на одной высоте на расстоянии $L$ друг от друга. Паук массой $m$ ползет, цепляясь за паутинку. По какой траектории он при этом движется? Напишите уравнение этой кривой. Считайте, что паутинка подчиняется закону Гука, ее жесткость $k$, а длина до растяжения пренебрежимо мала.
Решение:
Пусть в некоторый момент паук находится в точка В, а концы паутинки закреплены в точках А и Б (см. рисунок). Будем считать, что паук прополз долю $\gamma$ от начальной длины паутинки ($0 \leq \gamma \leq 1$). Тогда жесткость части АВ паутинки составляет $k_{1} = \frac{k}{ \gamma}$, а жесткость части ВБ - $k_{2} = \frac{k}{1 - \gamma}$. Горизонтальные компоненты сил натяжения частей паутинки компенсируют друг друга, а сумма вертикальных компонент дает $mg$:
$T_{1} \frac{x}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } }= T_{2} \frac{L - x}{ \sqrt{(L - x)^{2} + y^{2} } }$,
$T_{1} \frac{y}{ \sqrt{x^{2} + y^{2} } } + T_{2} \frac{y}{ \sqrt{(L - x)^{2} + y^{2} } } = mg$,
где
$T_{1} = k_{1} \sqrt{ x^{2} + y^{2} }, T_{2} = k_{2} \sqrt{(L - x)^{2} + y^{2} }$.
Подставляя значения $k_{1}$ и $k_{2}$ и исключая из уравнений величину $\gamma$ (кстати, получается $\gamma = \frac{x}{L}$), получим уравнение, связывающее $x$ и $y$:
$y = x (L - x) \frac{mg}{kL^{2} }$.
Это - уравнение параболы.