2020-01-17
Монохроматический рентгеновский луч падает под углом $\alpha$ на тонкую пластинку как показано на рисунке. Рассеянный луч фиксируют приемником под таким же углом $\alpha$. Найдите разность длин волн падающего и рассеянного излучений.
Решение:
Будем считать, что атомы пластинки легкие. Энергия связи электрона в легком атоме во много раз меньше его энергии покоя, поэтому в нашем случае можно считать электрон свободным. Поглотить фотон такой электрон не может, и происходит рассеяние, т е. упругое столкновение фотона с электроном (эффект Комптона). В результате электрон приобретает некоторую скорость, а значит - кинетическую энергию и импульс, а фотон изменяет направление движения и уменьшает свою энергию - уменьшается его частота, т.е. увеличивается длина волны.
Для упругого удара выполняются законы сохранения энергии и импульса. Воспользуемся ими (рис.):
$E_{1} + E_{0} = E_{2} + E$,
$p^{2} = p_{1}^{2} + p_{2}^{2} - 2p_{1}p_{2} \cos \beta$.
Учтем соотношения для фотона:
$E_{1} = h \nu = \frac{h \nu}{c} c = p_{1}c, E_{2} = h \nu^{ \prime} = p_{2}c$,
а также для электрона:
$E_{0} = m_{0}c^{2}, E = mc^{2}, m = \frac{m_{0} }{ \sqrt{1 - \frac{v^{2} }{c^{2} } } }$.
Кроме того,
$\nu = \frac{c}{ \lambda}, \nu^{ \prime} = \frac{c}{ \lambda^{ \prime} }$.
После преобразований для искомой разности длин волн получим
$\Delta \lambda = \lambda^{ \prime} - \lambda = \frac{h}{m_{0}c } (1 - \cos \beta) = \frac{2h}{m_{0}c } \sin^{2} \frac{ \beta}{2} = \frac{2h}{m_{0}c } \cos^{2} \alpha$.
Изменение длины волны не зависит от длины волны падающих лучей и от материала пластинки, но зависит от направления рассеяния.