2020-01-15
Внутри большого мыльного пузыря находится маленький, радиус которого в 10 раз меньше. Воздух снаружи откачивают, после чего радиус большого пузыря увеличивается в 2 раза. Во сколько раз увеличится радиус внутреннего пузыря? Температуру считайте постоянной, влиянием силы тяжести можно пренебречь.
Решение:
Обозначим коэффициент поверхностного натяжения мыльной пленки $\sigma$. Тогда при атмосферном давлении $p_{a}$ для давлений внутри большого и маленького пузырей можно записать
$p_{1} = p_{a} + \frac{2 \sigma}{R}$,
$p_{2} = p_{1} + \frac{2 \sigma}{r} = p_{a} + \frac{2 \sigma }{R}$
(Вообще говоря, мыльный пузырь состоит из двух жидких пленок, так что при расчете давления нужно удваивать коэффициент поверхностного натяжения мыльного раствора, но в нашем случае это несущественно - через $\sigma$ обозначен результирующий коэффициент, в ответ в явном виде он войти не должен.)
После того как воздух откачали, давление снаружи упало до нуля, и внутри нового большого пузыря оно стало
$p_{1}^{*} = \frac{2 \sigma}{R^{*} } = \frac{ \sigma}{R}$.
Ясно, что объем внутреннего пузыря составляет ничтожную часть объема внешнего, поэтому можно записать $p_{1}^{*} = \frac{p_{1}V}{V^{*}} = 1/8 p_{1}$. Отсюда получаем $\frac{ \sigma}{R} = \frac{1}{6} p_{a}$, и
$p_{1} = \frac{4}{3} p_{a}, p_{2} = \frac{14}{3} p_{a}$,
Пусть радиус внутреннего пузыря теперь равен $r^{*}$, тогда
$p_{2}^{*} = p_{2} \frac{r^{3} }{r^{*3} } = p_{1}^{*} + \frac{2 \sigma}{r^{*} } = \frac{1}{6} p_{a} + \frac{10}{3} p_{a} \frac{r}{r^{*} }$.
Обозначив $r/r^{*} = x$, получаем уравнение
$28x^{3} - 20x + 1 = 0$.
Это уравнение легко решить подбором, тем более что особая точность тут не нужна: $x \approx 0,87$ и $r^{*} \approx 1,15r$.
Итак, радиус внутреннего пузыря увеличится примерно в 1,15 раза.