2020-01-15
Внутри длинной трубы, наполненной воздухом, двигают с постоянной скоростью поршень, при этом в трубе распространяется со скоростью 320 м/с упругая волна. Считая перепад давлений на границе распространения волны равным 1000 Па, оцените перепад температур. Давление в невозмущенном воздухе 1 атм, температура 300 К.
Решение:
Пусть волна в трубе движется с постоянной скоростью $v$. Свяжем эту величину с заданным в условии перепадом давлений $\Delta p$ и с разностью плотностей $\Delta \rho$ в невозмущенном воздухе и в волне. Разность давлений $\Delta p$ "разгоняет" до скорости $v$ "избыток" воздуха плотностью $\Delta \rho$, поэтому, в соответствии со вторым законом Ньютона, можно записать
$( \Delta p S) \Delta t = ( \Delta \rho Sv \Delta t)v$,
где $S$ - площадь сечения трубы, $\Delta t$ - малый промежуток времени. Отсюда получаем
$v = \sqrt{ \frac{ \Delta p}{ \Delta \rho} }$
(эта формула широко известна, ее вывод в более строгих предположениях можно найти в любом курсе общей физики для вузов).
Воспользуемся уравнением Менделеева - Клапейрона и выразим $\Delta \rho$ через $\Delta p$:
$\Delta \rho = \frac{(p + \Delta p)M}{R(T + \Delta T)} - \frac{pM}{RT} = \frac{MT \Delta p - p \Delta T }{R(T + \Delta T)T^{3} }$,
где $M = 29 г/моль$ - молярная масса воздуха, $R = 8,31 Дж/(моль \cdot К)$ - универсальная газовая постоянная.
Подставляя сюда $\Delta \rho = \frac{ \Delta p}{v^{2}}$ и учитывая, что $\Delta T/T \ll 1$, находим
$\frac{ \Delta T}{T} = \frac{ \Delta p}{p} \left ( 1 - \frac{RT}{Mv^[2 } \right ) \approx 0,16 \frac{ \Delta p}{p} = 1,6 \cdot 10^{-3}$.
Итак, $\Delta T \approx 0,5 К$.