2020-01-15
На высоте $H = 20 м$ над плоскостью пола в вершинах квадрата со стороной $l = 1 м$ расположены четыре одинаковых громкоговорителя. На них подается синусоидальный сигнал частотой $f = 1 кГц$. На каком расстоянии от точки максимальной громкости на полу громкость падает до нуля?
Решение:
Точка максимальной громкости на полу находится точно под центром квадрата, в вершинах которого располагаются громкоговорители. (Для простоты мы будем считать их точечными излучателями звука, правда, для выбранной нами частоты $f = 1000 Гц$ длина волны составляет $\lambda = 0,33 м$ и наше упрощение не вполне оправданно, хотя и вынужденно.) Если мы отойдем от точки максимума, то пришедшие от излучателей волны будут иметь различные фазы и результат сложения будет меньше, чем в центре.
Сделаем еще одно необходимое упрощение - будем считать, что интересующая нас точка минимума находится недалеко от центра (по сравнению с высотой зала) и амплитуды пришедших волн практически одинаковы (вообще говоря, по мере удаления от излучателя амплитуда падает). Ясно, что ближе всего к центру мы найдем точку минимума, если будем смещаться по полу параллельно одной из сторон квадрата (см. рисунок). Условие минимума определяется разностью хода волн от одной пары излучателей (одновременно и от другой):
$\sqrt{ H^{2} + \left ( \frac{a}{2} + x \right )^{2}} - \sqrt{ H^{2} + \left ( \frac{a}{2} - x^{2} \right )^{2} } = \frac{ \lambda}{2}$.
Решать это уравнение можно либо численно - подбирая на калькуляторе нужное значение $x$, либо воспользовавшись каким-нибудь более цивилизованным методом решения уравнений на ЭВМ. Однако можно обойтись и более простыми средствами, заметив, что второе слагаемое в каждом из корней существенно меньше первого. Тогда стоит умножить и разделить выражение в левой части на сумму корней, которая приблизительно равна $2H$ (это только вычитать близкие числа нужно осторожно, а складывать можно смело). При этом уравнение сильно упростится:
$2ax = \frac{2H \lambda }{2} \Rightarrow x = 1,65 м$.
Можно немного уточнить ответ, подставив найденное значение $x$ в подкоренные выражения для суммы, которую мы приняли равной $2H$, однако разница получится совсем незначительной.
Учет отражений звуковых волн от пола ответа не изменит - можно считать, что добавятся "зеркальные" источники звука, а соотношение для разности хода останется прежним. А вот учет отражений от стен может ответ изменить сильно.
Имеет ли ситуация, описанная в задаче, какое-нибудь отношение к реальной действительности? К сожалению, имеет. И это знает каждый, кто пытался понять, что же объявляет диктор на вокзале через множество громкоговорителей, одновременно излучающих звук в условиях многократных отражений от стен и пола. Дело в том, что для различных частот, одновременно присутствующих в речевом сигнале, условия сложения пришедших волн дают и минимумы, и максимумы, в результате полный сигнал сильно отличается от исходного. Вам очень повезет, если рядом будет находиться один из громкоговорителей, сигнал, которого будет сильно превышать остальные, и интерференция получится не слишком сильной.