2020-01-15
Веревка длиной $l$ закреплена одним из своих концов в вершине сферы радиусом $R$ (рис.). В некоторый момент веревку отпускают. Найдите ускорение веревки сразу после этого. Трение отсутствует.
Решение:
Единственной силой, ускоряющей веревку, является сила тяжести. Значит, надо найти ее составляющую вдоль сферы.
Разобьем веревку на маленькие участки длиной $\Delta l$ (рис.). Пусть угол между радиусом, проведенным к одному из таких участков из центра сферы, и вертикалью равен $\phi$. Тогда составляющая силы тяжести вдоль сферы для этого участка равна
$\Delta F = \Delta m g \sin \phi = \frac{M}{l} \Delta l g \sin \phi$.
где $M$ - длина веревки. Но из рисунка видно, что
$\Delta l \sin \phi = \Delta h$,
где $\Delta h$ - разность высот концов этого участка, следовательно,
$\Delta F = \frac{M}{l} g \Delta h$.
Искомая суммарная ускоряющая сила есть
$F = \sum_{i=1}^{N} \Delta F_{i} = \frac{M}{l} g \sum_{i=1}^{N} \Delta h_{i} = \frac{M}{l} gH$.
В случае, если длина веревки равна, например, четверти длины окружности, т. е. $l = \frac{ \pi R}{2}, H = R$, и ускорение веревки в начальный момент равно
$a = \frac{F}{M} = \frac{2 }{ \pi} g$.