2020-01-15
Электрическая лампочка включена в сеть 50 Гц последовательно с катушкой, индуктивность которой 1 Гн. Параллельно лампочке подключили конденсатор неизвестной емкости, и оказалось, что лампочка горит при этом с той же яркостью, что и без конденсатора. Определите его емкость.
Решение:
При подключении параллельно лампочке конденсатора ток лампочки может как увеличиться, так и уменьшиться - в зависимости от емкости конденсатора.
Обозначим $U_{0}$ напряжение в сети и $U$ напряжение на лампочке (рис.). Нарисуем векторную диаграмму для этой цепи. Начнем с напряжения на лампочке (и па конденсаторе) $U$ (рис.) Ток через катушку $I_{L}$ равен сумме токов лампочки и конденсатора:
$I_{L} = \sqrt{ \left ( \frac{U}{R} \right )^{2} + (U \omega C)^{2}}, \cos \alpha = \frac{U \omega C}{I_{L} }$.
Напряжение на катушке опережает ток в ней на $\pi / 2$, а их величины связаны соотношением
$U_{L} = \omega LI_{L}$.
Найдем из рисунка сумму напряжений $U$ и $U_{L}$ и приравняем ее к $U_{0}$:
$(U_{L} \cos \alpha - U)^{2} + (U_{L} \sin \alpha)^{2} = U_{0}^{2}$,
или
$U_{L}^{2} + U^{2} - 2UU_{L} \cos \alpha = U_{0}^{2}$.
Подставляя соответствующие выражения для $I_{L}, U_{L}$ и $\cos \alpha$ получим
$U = \frac{ U_{0}R}{ \sqrt{ \omega^{2}L^{2} + R^{2} + \omega^{4}L^{2}C^{2}R^{2} - 2 \omega^{2}LCR^{2} }} = U_{нач} = \frac{U_{0}R }{ \sqrt{ \omega^{2} L^{2} + R^{2} } }$,
откуда
$\omega^{4} L^{2}C^{2}R^{2} - 2 \omega^{2}LCR^{2} = 0$.
Значит, емкость конденсатора равна либо нулю (т.е. случай без конденсатора), либо
$C = \frac{2}{ \omega^{2}L} \approx 20 мкФ$.