2020-01-15
Два одинаковых проволочных кольца радиусом $R$ и массой $m$ каждое находятся в однородном магнитном поле, индукция которого равна $B_{0}$ и направлена перпендикулярно плоскости колец (рис.). В точках соприкосновения А и С кольца имеют хороший электрический контакт. Угол $\alpha = \pi /3$. Какую скорость приобретает каждое из колец, если выключить магнитное поле? Электрическое сопротивление куска проволоки, из которого сделано кольцо, равно $r$. Индуктивность колец не учитывать. Смещением колец за время выключения поля пренебречь. Трения нет.
Решение:
При выключении внешнего магнитного поля абсолютная величина магнитной индукции изменяется со временем от начального значения $B_{0}$ до нуля. Изменяющееся магнитное поле вызывает появление вихревого электрического поля, которое приводит в движение свободные заряды проволочных колец, т. е. возбуждает в кольцах электрический ток. Найдем эти токи для произвольного момента времени $t$ после выключения магнитного поля.
Рассмотрим замкнутый контур AfCbA, совпадающий с контуром левого кольца (рис.). Согласно правилу Ленца, токи направлены по часовой стрелке, если магнитное поле направлено от нас за чертеж. Пусть на участке контура AfC ток равен $I_{1}(t)$, а на участке СЬА - $I_{2}(t)$. ЭДС индукции, возникающая в нашем контуре, равна
$\mathcal{E}_{инд} = - \pi R^{2} \frac{ \Delta B(t) }{ \Delta t}$.
По закону Ома для замкнутой цепи можно записать
$\mathcal{E}_{инд} = I_{1}(t) \frac{r}{2 \pi R} l_{AfC} + I_{2}(t) \frac{r}{2 \pi R} l_{CbA}$,
или, учитывая что длины дуг $l_{AfC}$ и $l_{CbA}$ равны соответственно $\frac{ \pi R}{3}$ и $4 \pi R/3$,
$I_{1}(t) + 5I_{2}(t) = - \frac{6 \pi R^{2} }{r} \frac{ \Delta B(t)}{ \Delta t}$.
Совершенно аналогично запишем закон Ома для контура AfCdA:
$I_{1}(t) = - \frac{(2 \pi - 3 \sqrt{8} ) R^{2} }{2r} \frac{ \Delta B(t)}{ \Delta t}$.
Подставив значение $I_{1}(t)$ в предыдущее уравнение, получим равенство
$I_{2}(t) = - \frac{(10 \pi + 3 \sqrt{8} ) R^{2} }{10r} \frac{ \Delta B(t)}{ \Delta t}$.
Согласно закону Ампера, на каждый элемент кольца $\Delta l$ с током $I(t)$ будет действовать со стороны магнитного поля сила, равная по величине $\Delta F = I(t) \Delta l \cdot B(t)$ и направленная по радиусу кольца. В силу зеркальной симметрии этих сил относительно горизонтальной оси, проходящей через центры колец, результирующая сила, действующая на каждое кольцо в вертикальном направлении, равна нулю. Отсутствие симметрии сил относительно вертикальной оси, проходящей через центр левого кольца ($I_{1}(t) \neq I_{2}(t)$), наоборот, приводит к появлению результирующей силы, действующей вдоль горизонтального направления. Очевидно, что она равна разности сил, действующих на дугу AfC и симметричную ей дугу на противоположной стороне кольца:
$F = F_{2} - F_{1} = I_{2}(t)l_{AC}B(t) - I_{1}l_{AC} B(t)$,
где $l_{AC}$ - длина хорды, на которую опирается дуга AfC ($l_{AC} = 2 R \sin \alpha /2 = R$). Окончательное выражение для силы $F$ будет иметь вид
$F = - \frac{9 \sqrt{3} R^{3} }{5r} B(t) \frac{ \Delta B(t) }{ \Delta t}$.
Действие этой силы в течение малого промежутка времени $\Delta t$ приводит к изменению импульса кольца:
$m \Delta v = F \Delta t = - \frac{9 \sqrt{3} R^{3} }{5r} B(t) \Delta B(t) = - \frac{9 \sqrt{3}R^{3} }{10r} \Delta (B^{2}(t) )$,
и, следовательно, кольцо приобретет скорость
$v = \frac{9 \sqrt{3} R^{3} }{10mr} B_{0}^{2}$.