2020-01-15
Вагон массой $M$ и длиной $L$ может без трения двигаться по рельсам. Он заполнен газом и разделен посередине подвижной невесомой вертикальной перегородкой. Вначале температура газа равна $T$. В правой половине вагона включают нагреватель и доводят температуру газа до $2T$, в левой части температура остается прежней. Найдите перемещение вагона, если масса всего газа $m$.
Решение:
Так как до включения нагревателя давление, объем и температура в левой и правой половинах вагона одинаковы, одинаковы и массы газа слева и справа от перегородки. При установившихся температурах после включения нагревателя давление в обеих частях вагона снова одинаково, тогда как объемы различны. Запишем уравнение Клапейрона - Менделеева для каждой из частей:
$pV_{1} = \nu RT, pV_{2} = 2 \nu RT$.
Отсюда получаем, что
$\frac{V_{1}}{V_{2} } = \frac{1}{2}$,
поэтому перегородка теперь находится на расстоянии $l = \frac{1}{3}L$ от левого края вагона.
Направим горизонтальную ось X вдоль рельсов и выберем начало отсчета так, чтобы вначале левый край вагона имел координату $x = 0$. При этом координата центра масс вагона будет равна
$x_{1} = \frac{ \frac{ML}{2} + \frac{mL}{2} }{M + m} = \frac{L}{2}$.
При изменении температуры газа справа от перегородки вагон переместился вправо на некоторое расстояние $a$ (см. рисунок). Теперь центр масс газа в левой части вагона находится на расстоянии $L/6$ от левого края, а в правой части - на расстоянии $\frac{1}{3}L + \frac{1}{2}$ $\frac{2}{3} L = \frac{2}{3} L$. Новая координата центра масс системы равна
$x_{2} = \frac{ M \left ( \frac{L}{2} + a \right )+ \frac{m}{2} \left ( \frac{L}{6} + a \right ) + \frac{m}{2} \left ( \frac{2}{3}L + a \right ) }{M + m} = a + \frac{ \frac{ML}{2} + \frac{m5}{12L} }{M + m }$.
Но, так как по горизонтальной оси на систему не действуют внешние силы, положение центра масс системы не изменилось:
$x_{1} = x_{2}$.
Отсюда находим, что вагон переместился на расстояние
$a = \frac{L}{2} - \frac{ \frac{ML}{2} + \frac{m5}{12L} }{M + m} = \frac{L}{12} \frac{m}{M + m}$.