2020-01-15
Сферический стеклянный аквариум заполнен водой и вращается с постоянной угловой скоростью вокруг вертикальной оси. После того как оболочку мгновенно затормозили и отпустили, угловая скорость вращения установилась в 1,5 раз меньшей, чем было вначале. Какую часть массы аквариума составляет вода? Считать, что стекло имеет плотность в три раза большую, чем вода.
Решение:
Для решения задачи нужно выйти за пределы школьной программы по физике (для наших учащихся) - воспользоваться законом сохранения момента импульса и формулой для момента инерции шара в случае, когда ось вращения проходит через его центр. Так, момент инерции водяного "шара" радиусом $R$ и плотностью $\rho$ равен
$I_{1} = \frac{2}{5} mR^{2} = \frac{2}{5} \frac{4}{3} \pi \rho R^{3}R^{2} = \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$.
Чтобы записать момент инерции стеклянной оболочки (обозначим внешний радиус $R_{1}$). нужно из выражения для момента инерции сплошного шара радиусом $R_{1}$ вычесть момент инерции "внутреннего" шара радиусом $R$:
$I_{2} = \frac{8}{15} \pi 3 \rho R_{1}^{5} - \frac{8}{15} \pi 3 \rho R^{5} = \frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5} )$.
Общий момент инерции стеклянного аквариума и находящейся в нем воды равен сумме моментов инерции $I_{1}$ и $I_{2}$:
$I_{общ} = I_{1} + I_{2}$.
Теперь запишем закон сохранения момент импульса для замкнутой системы "аквариум - вода":
$\omega_{0}I_{1} = \frac{2}{3} \omega_{0}(I_{1} + I_{2} )$
или
$I_{2} = \frac{1}{2I_{1} }$.
Отсюда находим соотношение между радиусами $R_{1}$ и $R$
$\frac{8}{5} \pi \rho (R_{1}^{5} - R^{5} ) = \frac{1}{2} \frac{8}{15} \pi \rho R^{5}$,
или
$\frac{R_{1}^{5} }{R^{5} } = \frac{7}{6}$
и отношенье масс воды и аквариума с водой:
$\frac{m_{в} }{m_{общ} } = \frac{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} }{ \frac{4}{3} \pi \rho R^{3} + \frac{4}{3} \pi 3 \rho (R_{1}^{3} - R^{3} ) } = \frac{1}{1 + 3 \left ( \frac{R_{1}^{3} }{R^{3} } - 1 \right ) } \approx 0,8$.