2020-01-15
Две металлические сферы радиусом $R$ каждая удалены друг от друга на большое расстояние и соединены друг с другом очень тонким проводником, в разрыв которого включена катушка индуктивностью $L$. На одну из сфер помещают электрический заряд. Через какое время заряд этой сферы уменьшится в два раза? Через какое время заряд снова станет таким же, как в первый момент?
Решение:
При помещении на одну из сфер электрического заряда $Q$ она приобретет потенциал
$\phi_{0} = \frac{Q}{4 \pi \epsilon_{0}R }$.
Так как на второй сфере заряда вначале нет (мгновенного перетекания заряда не произойдет, иначе ток через катушку был бы бесконечно большим, что невозможно), ее потенциал равен нулю. Из-за наличия разности потенциалов между сферами в катушке индуктивности появится ток. изменяющийся в соответствии с формулой
$LI^{ \prime} = U$.
Понятно, что данная система эквивалентна колебательному контуру - сферы играют роль обкладок конденсатора. Но отличие такого контура от обычного состоит в том, что суммарный заряд конденсатора здесь не равен нулю, что приводит к Пояснению его эффективной емкости. Найдем ее.
Представим заряд $Q$ на первой сфере в начальный момент в виде суммы $+ \frac{Q}{2}$ и $+ \frac{Q}{2}$, а нулевой заряд на второй сфере - в виде $+ \frac{Q}{2}$ и $- \frac{Q}{2}$. При этом разность потенциалов от зарядов $+ \frac{Q}{2}$ на обеих сферах равна нулю, а от оставшихся зарядов $+ \frac{Q}{2}$ и $- \frac{Q}{2}$ (их сумма равна нулю) она равна. Таким образом, эффективный заряд конденсатора, перетекающий между сферами, есть $Q_{эф} = \frac{Q}{2}$ и
$C_{эф} = \frac{Q_{эф} }{U_{max} } = 2 \pi \epsilon_{0} R$.
Поскольку индуктивность катушки равна $L$, в контуре возникают колебания с периодом
$T = 2 \pi \sqrt{LC_{эф} } = 2 \pi \sqrt{2 \pi \epsilon_{0} RL }$.
Очевидно, что это и есть то время, через которое заряд на первой сфере снова станет таким же, как в первый момент (рис.).
Теперь легко найти и время, через которое заряд первой сферы уменьшился в два раза. Действительно, в этот момент заряды на обеих сферах должны быть равны $+ \frac{Q}{2}$, а напряжение между сферами - нулю. Это означает, что искомый момент времени соответствует четверти периода колебаний:
$\tau = \frac{T}{4} = \frac{ \pi}{2} \sqrt{2 \pi \epsilon_{0} RL}$.
Заметим, что эту задачу можно решать и более формальным способом. Пусть $q_{2}$ - это заряд, перешедший на вторую сферу к моменту времени $t$ (рис.). Тогда заряд первой сферы будет $q_{1} = Q - q_{2}$. При этом напряжение на катушке равно разности потенциалов, создаваемой зарядами на сферах:
$U = \phi_{1} - \phi_{2} = \frac{q_{1} }{4 \pi \epsilon_{0} R } - \frac{q_{2} }{4 \pi \epsilon_{0}R } = \frac{ \frac{Q}{2} - q_{2} }{2 \pi \epsilon_{0}R }$.
Запишем закон изменения тока через катушку: $LI^{ \prime} = U$, или, поскольку $I = q_{2}^{ \prime}$,
$Lq_{2}^{ \prime \prime} = \frac{ \frac{Q}{2} - q_{2} }{2 \pi \epsilon_{0}R }$.
Перейдем к переменной $q_{3} = \frac{Q}{2} - q_{2}$ и получили
$q_{3}^{ \prime \prime} = - \frac{1}{2 \pi \epsilon_{0} RL } q_{3}$.
Это - уравнение гармонических колебаний с периодом $T = 2 \pi \sqrt{2 \pi \epsilon_{0} RL}$. Заряд на первой сфере отличается от заряда только на постоянную величину, значит, он колеблется с таким же периодом.