2020-01-15
В однородном магнитном поле вращается по круговой орбите электрон. Индукцию поля медленно (за время, во много раз превышающее период обращения) увеличивают в три раза. Во сколько раз изменится радиус орбиты электрона?
Решение:
На электрон со стороны магнитного поля действует сила Лоренца, которая сообщает ему центростремительное ускорение. Согласно второму закону Ньютона,
$\frac{mv^{2} }{R} = evB$,
откуда получаем
$\frac{mv}{R} = eB$. (*)
Медленное изменение магнитного поля приводит к тому, что величины $B, R$ и $v$ начинают зависеть от времени, хотя соотношение (*) по-прежнему выполняется.
Изменяющееся магнитное поле порождает вихревое электрическое поле, напряженность которого равна
$E_{инд} = \frac{ \mathcal{E}_{инд} }{2 \pi R} = \frac{ \pi R^{2} \frac{ \Delta B}{ \Delta t} }{2 \pi R}$.
Это поле создает силу
$F_{инд} = eE \mathcal{E}_{инд}$.
Работа этой силы за малое время $\Delta t$ равна изменению кинетической энергии электрона:
$\frac{1}{2} Rev \cdot \Delta B = \Delta \left ( \frac{mv^{2} }{2} \right ) \approx mv \cdot \Delta v$,
откуда изменение скорости будет равно
$\Delta v \approx \frac{Re}{2m} \Delta B$.
С другой стороны, из соотношения (*)
$v = \frac{eBR}{m} = \Delta v \approx \frac{e}{m} ( \Delta B \cdot R + B \cdot \Delta R)$,
Таким образом, получаем
$\frac{1}{2} R \cdot \Delta B \approx \Delta B \cdot R + B \cdot \Delta R \Rightarrow \cdot \Delta R + \frac{1}{2} \Delta B \cdot R = 0 \Rightarrow \Delta B \cdot R + 2B \cdot \Delta R = 0 \Rightarrow \Delta B \cdot R^{2} + 2B \cdot R \Delta R = 0 \Rightarrow \Delta (BR^{2} ) = 0$.
Это означает, что при изменении магнитного поля величина $BR^{2}$ сохраняется. Поэтому увеличение индукции магнитного поля в три раза приводит к уменьшению радиуса орбиты электрона в $\sqrt{3}$ раз.