2020-01-15
При разгоне ракеты масса ее уменьшается. При какой скорости ракеты будет максимальной ее кинетическая энергия, если расход топлива постоянен? Скорость газов относительно ракеты $v_{0}$, начальная скорость ракеты равна нулю. Разгон производят далеко от Земли, так что влиянием силы тяжести можно пренебречь.
Решение:
В тот момент, когда кинетическая энергия ракеты $E_{b} = \frac{Mv}{2}$, где $M$ - масса, $v$ - скорость ракеты, максимальна, ее производная по времени равна нулю:
$E_{k}^{ \prime} = \frac{1}{2} (M \cdot v^{2})^{ \prime} = \frac{1}{2} M^{ \prime} \cdot v^{2} + \frac{1}{2} M \cdot 2vv^{ \prime} = 0$,
или
$v = - 2 \frac{M}{M^{ \prime} } v^{ \prime} = 2 \frac{M}{ \mu} v^{ \prime}$.
Поскольку - $M^{ \prime} = \mu$ - это расход топлива, который по условию постоянен, получаем, что скорость ракеты $v$, соответствующая се максимальной кинетической энергии, зависит от ускорения ракеты $a = v^{ \prime}$ в этот момент времени. Найдем его.
Выберем очень малый промежуток времени $\Delta t$ и запишем закон сохранения импульса (см. рисунок):
$\mu \Delta t ( v - v_{0} ) + (M - \mu \Delta t)(v + \Delta v) = Mv$.
После несложных преобразований, учтя, что $\mu \Delta t \ll M$, получаем
$a = \frac{ \Delta v}{ \Delta t} = \frac{ \mu}{M} v_{0}$.
Таким образом, искомая скорость оказывается равной
$= 2 \frac{M}{ \mu} v^{ \prime} = 2 v_{0}$.