2020-01-15
Электрический вентилятор с асинхронным двигателем, включенный в сеть напряжением 220 В. развивает 1800 об/мин. Чтобы он не гудел так громко, его подключают через автотрансформатор к напряжению 127 В. С какой скоростью он будет вращаться? Считайте, что нагрузка на лопасти вентилятора определяется перегоняемым воздушным потоком. Трением в подшипниках пренебречь. Силу тока в обмотках статора считать зависящей только от приложенного напряжения.
Решение:
Основу асинхронного двигателя переменного тока составляют статор с несколькими обмотками, создающими вращающееся магнитное поле, и ротор, представляющий собой сплошной металлический цилиндр или конструкцию типа "беличье колесо".
В однофазном двигателе вращение магнитного поля достигается за счет сдвига по фазе на $90^{ \circ}$ синусоидальных переменных токов равной величины, текущих по двум взаимно перпендикулярным обмоткам статора. При этом х-составляющая магнитного поля равна $B_{x} = B_{0} \cos \omega t$, $y$ - составляющая - $B_{y} = B_{0} \sin \omega t$, а результирующее поле $\vec{B}_{0}$ вращается в плоскости XY против часовой стрелки с частотой $\omega$ питающих токов (рис.).
Рассмотрим силы, действующие на ротор, считая его для простоты прямоугольной металлической рамкой со сторонами а и b. Вначале обсудим случай, когда рамка с осью вращения OZ закреплена неподвижно в плоскости YZ, а вектор индукции магнитного поля $\vec{B}_{0}$, лежащий в плоскости XY, вращается вокруг оси рамки с частотой $\omega_{0}$ против часовой стрелки (рис.). Составляющая поля, перпендикулярная плоскости рамки, равна
$B_{ \perp} = B_{0} \cos \omega_{0}t$,
параллельная -
$B_{ \parallel} = B_{0} \sin \omega_{0}t$.
Магнитный поток, пронизывающий рамку, равен
$\Phi = B_{ \perp} S = B_{0}S \cos \omega_{0} t$,
где $S = ab$ - площадь рамки. ЭДС индукции, возникающая в рамке, есть
$I = \frac{ \mathcal{E}_{i} }{R} = \frac{B_{0}S \omega_{0} }{R \sin \omega_{0} t }$,
где $R$ - омическое сопротивление. Вращающий момент относительно оси рамки создают только перпендикулярные плоскости YZ составляющие сил Ампера, действующих на стороны, параллельные оси,-
$F_{1 \perp} = F_{2 \perp} = F = B_{ parallel}Ib = \frac{B_{0}^{2} bS \omega_{0} }{R \sin^{2} \omega_{0} t }$.
Суммарный момент этих сил
$M = \frac{2Fa}{2} = \frac{B_{0}^{2}S^{2} \omega_{0} }{R \sin^{2} \omega_{0} t }$.
Его среднее за период $T = \frac{2 \pi}{ \omega_{0}}$ значение равно
$\bar{M} = \frac{B_{0}^{2}S^{2} \omega_{0}}{2R}$.
Поскольку физические процессы, рассмотренные выше, определяются только взаимной ориентацией и относительной угловой скоростью вращения поля и рамки, выражение для раскручивающего рамку момента сил в случае вращающейся вслед за полем с частотой $\omega$ рамки может быть получено простой заменой $\omega_{0} \rightarrow \omega_{0} - \omega$:
$bar{M}_{p} = BB_{0}^{2}S^{2} \frac{ \omega_{0} - \omega}{2R}$.
При $\omega = 0$, когда рамка неподвижна, амплитуды индукционного тока и сил Ампера максимальны. При $\omega = \omega_{0}$, когда рамка вращается синхронно с полем, ЭДС индукции, ток и вращающий момент равны нулю, что может быть только в случае отсутствия нагрузки на вал двигателя.
В реальном устройстве, в частности - в нашем вентиляторе, ротор можно представить как совокупность нескольких рамок, однако и в этом случае раскручивающий момент сил будет пропорционален квадрату амплитуды индукции магнитного поля в зазоре статора и разности частот вращения поля и ротора. Максимальная величина индукции магнитного поля $B_{0}$ пропорциональна амплитуде $I$ переменного тока, текущего через обмотки статора, а эта величина, по условию, пропорциональна напряжению $U$ в сети. Поэтому
$\bar{M}_{p} \sim B_{0}^{2} ( \omega_{0} - \omega ) \sim I_{0}^{2}( \omega_{0} - \omega ) \sim U^{2}( \omega_{0} - \omega )$.
Переходя от круговых частот к обычным, получим выражение вида
$\bar{M}_{p} = \alpha U^{2} ( \nu_{0} - \nu )$,
где $\alpha$ - постоянный коэффициент пропорциональности.
Теперь рассмотрим действие сил, вызывающих торможение ротора, которое в нашем случае обусловлено перегоняемым воздушным потоком. Пусть вентилятор создает струю воздуха площадью $S$, движущуюся со скоростью $v$. Тогда за малое время $\Delta t$ в поток вовлекается масса воздуха $\Delta m = \rho S v \Delta t$, где $\rho$ - плотность воздуха. Изменение механической энергии этого воздуха есть
$\Delta E_{k} = \frac{ \Delta mv^{2}}{2} = \frac{ \rho Sv^{3} \Delta t}{2}$,
а механическая мощность, развиваемая вентилятором, равна
$N = \frac{ \Delta E_{k}}{ \Delta t} = \frac{ \rho Sv^{3}}{2}$.
Поскольку (из кинематических соображений) скорость струи пропорциональна частоте вращения лопастей, а мощность связана с моментом сил соотношением $N = \bar{M} \omega$, для тормозящего момента сил, действующих на лопасть вентилятора, получаем
$M_{ \tau} \sim \omega^{2}$, илы $M_{ \tau} = \beta v^{2}$,
где $\beta$ - постоянный коэффициент пропорциональности.
Приравнивая раскручивающий и тормозящий моменты сил, действующих на ротор двигателя, получаем уравнение:
$\alpha U^{2}( \nu_{0} - \nu ) = \beta \nu^{2}$, или $\nu^{2} = kU^{2} ( \nu_{0} - \nu )$,
где $k = \frac{ \alpha}{ \beta}$ - тоже коэффициент пропорциональности. Запишем это уравнение для разных значений $\nu$ и $U$:
$\nu_{1}^{2} = kU_{1}^{2}( \nu_{0} - \nu_{1} )$,
$\nu_{2}^{2} = kU_{2}^{2}( \nu_{0} - \nu_{2} )$,
где $\nu =50 Гц, \nu = \frac{1800}{60} Гц = 30 Гц, U_{1} = 220 В, U_{2} = 127 В$. Подставив эти значения и исключив $k$, получаем уравнение относительно искомой частоты $\nu_{2}$:
$\nu_{2}^{2} + 15 \nu_{2} -750 = 0$,
откуда
$\nu_{2} =21 Гц$.
Таким образом, после подключения к сети через автотрансформатор лопасти вентилятора будут вращаться со скоростью
$n_{2} = 21 \cdot 60 об/мин \approx 1260 об/мин$.