2020-01-15
Хорошо всем известная бесконечная цепочка резисторов (рис.) содержит резисторы $r$ и $R$. Чему равно сопротивление, измеренное между двумя соседними узлами (разделенными ровно одним резистором $r$)? Чему равно сопротивление, измеренное между двумя узлами, которые находятся очень далеко друг от друга? Найти это сопротивление в общем случае, когда между интересующими нас точками включено ровно $n$ резисторов $r$.
Решение:
В первом случае цепочку можно перерисовать так, как показано на рисунке, где $\rho$ - сопротивление полубесконечной цепочки, изображенной на рисунке. Из соотношения
$r + \frac{R \rho}{R + \rho} = \rho$
легко получаем
$\rho = r \frac{ 1 + \sqrt{1 + \frac{4R}{r} } }{2}$.
Тогда сопротивление, измеренное между двумя соседними узлами А и В, будет равно
$R_{1} = R_{AB} = \frac{2R \rho r}{2R \rho + rR + r \rho} = \frac{2Rr}{ \rho + 2R}$.
Если узлы А и В находятся очень далеко друг от друга, то схему можно заменить такой, как на рисунках. Отсюда
$R_{ \infty} = R_{AB} = \frac{2 \rho R}{2R + \rho}$.
Пусть теперь между А и В включено $N$ звеньев цепочки. Применим принцип суперпозиции. Подключим между узлом А и нижним проводом О батарею с ЭДС $\mathcal{E}$ (рис.). Если принять потенциал провода за ноль, то потенциалы и токи будут равны
$\phi_{A} = \mathcal{E}, \phi_{B} = \mathcal{E} \left ( 1 - \frac{r}{ \rho} \right )^{N}, \phi_{0} = 0$,
$I_{A} = I = \mathcal{E} \left ( \frac{1}{R} + \frac{2}{ \rho} \right ), I_{B} = 0, I_{0} = - I$.
Если же вместо предыдущей взять батарею противоположной полярности и включить ее между О и В, то токи и потенциалы окажутся равными
$\phi_{A}^{ \phi} = \mathcal{E} \left ( 1 - \left ( 1 - \frac{r}{ \rho} \right )^{N} \right ) , \phi_{B}^{ \prime \prime} = - \mathcal{E} \left ( 1 - \left ( \frac{r}{ \rho} \right )^{N} \right ) , \phi_{0}^{ \prime \prime} = 0$,
$I_{A}^{ \prime \prime } = I, I_{B}^{ \prime \prime} = - I, I_{0}^{ \prime \prime} = 0$.
Сложим токи и напряжения в этих двух ситуациях и получим
$\phi_{A}^{ \prime \prime} = - \mathcal{E} \left ( 1 - \frac{r}{ \rho} \right )^{N}, \phi_{B}^{ \prime \prime} = - \mathcal{E} \left ( 2 - \frac{r}{ \rho} \right )^{N} , \phi_{0} = 0$,
$I_{A} = I = \mathcal{E} \left ( \frac{1}{R} + \frac{2}{ \rho} \right ), I_{B} = 0, I_{0} = 0 I$.
Поскольку через узел О ток не течет, можно считать, что сопротивление между узлами А и В равно
$R_{N} = R_{AB} = \frac{ \phi_{A}^{ \prime \prime} - \phi_{B}^{ \prime \prime } }{I} = \frac{2R \rho}{2R + \rho} \left ( 1 - \left ( 1 - \frac{r}{ \rho} \right )^{N} \right )$.
Заметим, что при $N = 1$ получается ответ для первого случая, а при $N \rightarrow \infty$ - для второго.