2020-01-15
На горизонтальном столе находится катушка радиусом $R$. На катушку намотана тонкая невесомая нить, радиус намотки равен $r$. Нить пропущена через маленькое отверстие на высоте $h$ от поверхности стола ($h > R$). В начальный момент катушка неподвижна, а нить вертикальна (рис.). За нить начинают тянуть с постоянной силой $F$, и катушка катится по столу без проскальзывания. Найти максимальную скорость катушки Масса катушки $M$. Считайте, что половина всей массы сосредоточена на оси катушки, а вторая половина распределена по внешнему ободу радиусом $R$. Нить считать гладкой.
Решение:
Ясно, что катушка, расположенная так, как показано на рисунке, начнет катиться вправо. Определим, в каком положении катушка будет иметь максимальную скорость.
В произвольный момент времени на катушку действуют три силы - сила натяжения нити $T$, равная по величине $F$, сила тяжести $Mg$ и сила реакции опоры $F_{p}$ (рис.). Рассмотрим моменты всех сил относительно точки опоры. Силы $Mg$ и $F_{p}$ имеют нулевые моменты, а момент силы $T$ ускоряет вращение катушки по часовой стрелке и, следовательно, увеличивает скорость ее горизонтального движения вправо. Понятно, что максимальной эта скорость станет тогда, когда продолжение нити будет переходить через точку опоры (точка D на рисунке). При дальнейшем движении момент силы $T$ станет тормозящим, через некоторое время катушка остановится и покатится назад.
Чтобы вычислить максимальную скорость катушки, воспользуемся законом сохранения энергии - кинетическая энергия катушки равна работе внешних сил. Единственный источник энергии здесь - экспериментатор, который тянет за конец нити с силой $F$. Работа этой силы равна
$A = F \Delta l$,
где $\Delta l$ длина участка нити, вытянутого через отверстие при движении катушки от начального до интересующего нас положения. Найдем $\Delta l$, сравнив "свободную" длину нити в начальном и конечном положениях (см. рис.).
Пусть точка О - это конец нити в начальный момент, а точка G - это точка касания нити и катушки в конечный момент. Чтобы найти положение этой точки в начальный момент, мысленно перекатим катушку обратно. При этом нить частично намотается на катушку, и точка $G$ перейдет в точку $G_{1}$ (промежуточная точка $G_{2}$ получается из $G$ параллельным переносом катушки из конечного положения в начальное). Итак, длина рассматриваемого участка нити в конечном положении равна $BO + OG$, в начальном $OC + \smile{CG_{1} }$. Приравнивая эти два выражения, найдем
$\Delta l = BO = OC + \smile{CG_{1} } - OG$.
Вычислим все входящие сюда величины. Непосредственно из рисунка получаем
$OC = h - R, OG = OD - DG = \frac{h}{ \cos \alpha} - R \cos \alpha$.
Осталось вычислить длину нити, намотанной на катушке. Разложим эту длину на две:
$\smile{CG_{1} } = \smile{CG_{2} } + \smile{G_{1}G_{2} }$.
При перекатывании катушки из конечного положения в начальное ее угол поворота равен
$\beta = \angle G_{1}E_{1}G_{2} = \frac{EE_{1} }{R} = \frac{AD - r}{R} = \frac{h tg \alpha - r}{R}$.
Поэтому длина нити на участке от $G_{1}$ до $G_{2}$ есть
$\smile{G_{1}G_{2}} = r \beta = r \frac{h tg \alpha - r}{R}$.
Вместе с тем
$\angle CE_{1}G_{2} = \angle EDG = \alpha$,
поэтому
$\smile{CG_{2} } = r \alpha$.
Окончательно получим
$\Delta l = h - R + \frac{r}{R} (h tg \alpha - r) + r \alpha - \frac{h}{ \cos \alpha} + R \cos \alpha$,
или, выразив все функции угла $\alpha$ через $\sin \alpha = \frac{r}{R}$,
$\Delta l = r arcsin \frac{r}{R} - \frac{r^{2} }{R } + (h - R) \left ( 1 - \sqrt{1 - \left ( \frac{r}{R} \right )^{2} } \right )$.
Вычислим теперь кинетическую анергию движущейся катушки. Катушка, катящаяся без проскальзывания со скоростью $v$, вращается с линейной скоростью, тоже равной $v$, поэтому кинетическая энергия катушки равна
$E_{k} = \frac{1}{2}Mv^{2} + \frac{1}{2} \frac{M}{2} v^{2} = \frac{3}{4} Mv^{2}$.
Теперь из закона сохранения энергии $E_{k} = A$ получим ответ:
$v = \sqrt{ \frac{4}{3} \frac{F}{M} \left ( r arcsin \frac{r}{R} - \frac{r^{2} }{R} + (h - r) \left ( 1- \sqrt{1 - \frac{r^{2} }{R^{2} } } \right ) \right ) }$.
Интересно отметить, что формула дает осмысленную величину для $v$ и при $r = R$, хотя в этом случае равновесие моментов сил (см. рис.) никогда не наступает - момент силы натяжения нити все время ускоряет катушку. Вместе с тем, хотя путь катушки и бесконечен, через отверстие проходит лишь конечный участок нити, и скорость катушки оказывается ограниченной.