2020-01-15
На кольцевой сердечник с большой магнитной проницаемостью намотана катушка, содержащая $N = 2000$ витков и имеющая индуктивность $L = 5 Гн$. К концам катушки подключен резистор сопротивлением $R = 200 Ом$. Батарейку напряжением $U_{0} = 1,5 В$ подключают между одним из концов катушки и витком номер 300, считая от этого конца. Какие токи будут течь по обеим частям катушки через время $t = 0,1 с$ после подключения батарейку считать идеальной, рассеянием магнитного потока пренебречь.
Решение:
По условию задачи, магнитный поток не рассеивается, поэтому вклад каждого витка в общую ЭДС индукции катушки одинаков. Но к части катушки ($n = 300$ витков) подключена идеальная батарейка напряжением $U_{0} = 1,5 В$ (см. рисунок), значит, и ЭДС индукции в этой части катушки равна 1,5 В. Тогда полнея ЭДС равна 10 В, и по резистору течет постоянный по величине ток
$I = \frac{10 В}{200 Ом} = 0,05 А$.
Этот ток возникает сразу после подключения батарейки - скачком (строго говоря, время нарастания этого тока от нуля до вычисленного значения определяется "электростатикой" - межвитковыми емкостями, однако, это время можно сделать очень малым; во всяком случае подробный анализ весьма сложен, и мы не будем этим заниматься).
Нет ли тут нарушения известного правила о том, что ток через катушку не может меняться скачком? В нашем случае все в порядке - ведь на самом деле не должен меняться скачком полный магнитный поток, а он определяется токами в обеих частях катушки. Следовательно, и в меньшей части катушки будет скачок тока сразу после включения Сделаем расчет. Для того чтобы сразу после включения не было скачка магнитного потока, поля обеих частей катушки должны друг друга компенсировать. Поля всех витков в сердечнике складываются, значит, между токами выполняется соотношение
$nI_{n0} = (N - 1)I$, и $I_{n0} = U_{0} \frac{(N - n)N}{n^{2}R} = \frac{17}{60} А$,
где $I_{n0}$ - начальный ток в меньшей части катушки.
ЭДС индукции в малой части катушки равна $U_{0}$, и ток в ней возрастает по линейному закону. Индуктивность части катушки, в которой меняется ток, легко найти: рассеяния потока в сердечнике нет, поля всех витков складываются, следовательно, индуктивность пропорциональна квадрату числа витков. Тогда
$L_{n} = \frac{Ln^{2}}{N^{2} } = 0,125 Гн$.
Согласно закону Фарадея (мы будем учитывать только изменяющуюся часть магнитного потока).
$- L_{n} \frac{dI_{n} }{dt} = U_{0}$.
Поэтому окончательно
$I_{n} = I_{n0} + \frac{U_{0}t}{L_{n}} = 1,62 А$.