2020-01-15
В морозную осеннюю ночь на спокойной поверхности озера начинает нарастать лед и за 19 часов достигает толщины 10 см. Какой толщины достигнет лед, если такая температура продержится без изменений в течение 1000 часов? Считайте теплопроводность льда намного большей, чем теплопроводность воды. Озеро очень глубокое.
Решение:
Так как вода не перемешивается, все тепло, которое выделяется при замерзании льда, рассеивается только в воздух. Поток тепла прямо пропорционален разности температур $\Delta T$ воды и воздуха и обратно пропорционален толщине $x$ льда в каждый момент времени. Поэтому для изменения $\Delta x$ толщины льда за время $\Delta t$ можно записать
$\Delta x \sim \frac{ \Delta T}{x} \Delta t$,
или, учитывая, что $\Delta T = const$,
$x \Delta x \sim \Delta t$.
Отсюда получаем
$x^{2} \sim t$, и $x \sim \sqrt{t}$.
Через 1000 часов лед достигнет толщины
$x_{1000} = x_{10} \sqrt{ \frac{1000}{10} } = 1 м$.