2020-01-15
В схеме, приведенной на рисунке, после установки токов мгновенно перебрасывают ключ из положения 1 в положение 2. Считая катушки идеальными, определить количество теплоты, которое выделится на резисторе $R$ после переключения. ЭДС источника $\mathcal{E}$, внутреннее сопротивление $r$.
Решение:
После установления токов перед перебрасыванием ключа через катушки $L_{1}$ и $L_{2}$ течет ток
$I = \frac{ \mathcal{E} }{r}$.
Поскольку катушки идеальные (омическое сопротивление их обмоток равно нулю), падение напряжения на резисторе $R$ и, следовательно, величина тока через резистор равны нулю. Мгновенность переброски ключа из положения 1 в положение 2 означает, что за время переброски ток в катушках практически не успевает измениться.
После переброски ключа действующая электрическая схема имеет вид, изображенный на рисунке. Начальные значения токов равны:
$I_{1}(0) = I_{2}(0) = I = \frac{ \mathcal{E}}{r}$,
$I_{3}(0) = 0$.
Из закона Ома для замкнутого контура abcd (для произвольного момента времени $t$) имеем
$L_{1} \frac{dI_{1} }{dt} = 0 \Rightarrow I_{1} = const$.
Поскольку $I_{1} = I_{2} + I_{3}$, получаем
$\frac{dI_{1}}{dt} = \frac{dI_{2} }{dt} + \frac{dI_{3} }{dt} = 0$.
Из-за наличия резистора $R$ ток $I_{2}$ будет уменьшаться, т. е. затухать. При этом уменьшение тока $I_{2}$ будет численно равно приращению тока $I_{3}$ (поскольку $dI_{2} = - dI_{3}$). Когда ток $I_{2}$ упадет до нуля, ток $I_{3}$ будет равен начальному значению тока $I_{2}(I_{2}(0) ) = \frac{ \mathcal{E} }{r}$).
В новом установившемся режиме в цепи текут токи
$I_{1}( \infty ) = I_{3} ( \infty ) = \frac{ \mathcal{E} }{r}, I_{2}( \infty) = 0$.
Следовательно, по закону сохранения анергии, энергия магнитного поля катушки $L_{2}$ выделится в виде тепла на резисторе $R$:
$Q = \frac{L_{2} I_{2}^{2}(0) }{2} = \frac{L_{2} \mathcal{E}^{2} }{2r^{2} }$.