2020-01-15
Круглую пластинку диаметром $d = 40 мм$ и толщиной $a = 0,5 мм$ осторожно положили на поверхность воды. Благодаря поверхностному натяжению она осталась на плаву, причем в месте соприкосновения верхней плоскости пластинки с поверхностью воды угол между ними оказался равным $90^{ \prime}$ (рис.). Определить плотность материала пластинки. Коэффициент поверхностного натяжения воды $\sigma = 0,073 Н/м$.
Решение:
Запишем условие равновесия пластинки в проекциях на вертикальное направление:
$mg - \Delta p S - F = 0$,
где $mg$ - сила тяжести, $\Delta p$ - разность давлений на пластинку снизу и сверху, $F$ - сила поверхностного натяжения. Рассмотрим каждую силу в отдельности.
Сила тяжести связана с искомой плотностью р материала пластинки соотношением
$mg = \rho \left ( \frac{ \pi d^{2}}{4} \right ) ag$.
Сила поверхностного натяжения, действующая на пластинку со стороны воды, равна
$F = \sigma \pi d$.
Разность сил давления на пластинку обусловлена "падением" уровня воды под пластинкой и равна
$\Delta p S = \rho_{в} g (H + a) \frac{ \pi d^{2} }{4} $,
где $\rho_{в}$ - плотность воды, $H$ - глубина погружения верхнего края пластинки. Эту величину определим из условия равновесна выделенного на рисунке объема воды "шириной" $\Delta y$ ($\Delta y \ll d$), записав его в проекциях на горизонтальную ось Y:
$\sigma \Delta y = p_{ср} \Delta S = \rho_{в}g \left ( \frac{H}{2} \right ) H \Delta y$,
откуда
$H = \sqrt{ \frac{2 \sigma}{ \rho_{в}g}}$.
Итак, перепишем условие равновесия пластинки в виде
$\rho \frac{ \pi d^{2} }{4} ag - \rho_{в} g \left ( \sqrt{ \frac{2 \sigma}{ \rho_{в}g } } + a \right ) \frac{ \pi d^{2} }{4} - \sigma \pi d = 0$
и найдем плотность $\rho$ пластинки:
$\rho = \rho_{в} + \frac{1}{a} \sqrt{ \frac{2 \sigma \rho_{в} }{g} } + \frac{4 \sigma }{adg} \approx 10^{4} кг/м^{3}$.