2020-01-08
Два одинаковых $LC$-контура находятся далеко друг от друга. В первом возбуждены колебания с амплитудой напряжения на конденсаторе $U_{0}$. В тот момент, когда напряжение на конденсаторе оказалось нулевым, подключают проводами второй контур (рис.). Опишите процессы в цепи после подключения. Что изменится, если подключение произвести в тот момент, когда напряжение на конденсаторе максимально?
Решение:
Начнем со второго случая, когда в момент замыкания ключа напряжение на первом конденсаторе максимально, т.е. весь заряд сосредоточен на конденсаторе $C_{1}$, а тока в катушке $L_{1}$ нет. Сразу после замыкания ключа напряжения на конденсаторах равны $U_{1} =U_{0}$ и $U_{2} = 0$. К соединяющим проводам приложено напряжение $U_{0}$, и, поскольку их сопротивление очень мало, в системе происходит быстрый (по сравнению с периодом колебаний) процесс перераспределения заряда между конденсаторами. Так как емкости равны, заряд делится поровну, т.е.
$U_{1}^{ \prime} = \frac{U_{0}}{2}$ и $U_{2}^{ \prime} = \frac{U_{0}}{2}$.
Катушки в процессе не участвуют.
После перераспределения заряда оба контура оказываются в одинаковом начальном состоянии - напряжение на конденсаторе равно $U_{0}/2$, тока в катушке нет, и начинаются их совместные синхронные колебания с частотой $\omega = \frac{1}{ \sqrt{LC} }$ и амплитудой напряжения $U_{0}/2$:
$u_{1}(t) = u_{2}(t) = \frac{U_{0}}{2} \cos \omega t$.
На эти процессы не влияет перемычка между контурами, после обмена зарядами ее можно было бы и убрать.
Теперь обсудим первый случай, когда в начальный момент напряжение на первом конденсаторе равно нулю. Эта ситуация сложнее.
Итак, в момент замыкания ключа напряжение на конденсаторе $C_{1}$ равно нулю, а через катушку $L_{1}$ течет ток $I_{0} = \sqrt{ \frac{C}{L}} U_{0}$ (это получается из равенства $\frac{LI_{0}^{2}}{2} = \frac{CU_{0}^{2}}{2}$). Чтобы описать дальнейшие процессы в цепи, заметим, что после замыкания ключа по контуру $L_{1} - L_{2}$ может циркулировать постоянный ток, не создающий никаких напряжений (активным сопротивлением катушек пренебрегаем). Представим распределение токов в катушках так, как показано на рисунке. В катушках $L_{1}$ и $L_{2}$ текут равные и одинаково направленные токи $i_{1} =i_{2} = \frac{I_{0}}{2}$, а но контуру $L_{1} - L_{2}$ циркулирует постоянный ток $i = \frac{I_{0}}{2}$. Тогда
$I_{1} = i_{1} + i, I_{2} = i_{2} - i$.
Далее рассуждения аналогичны первому случаю. Действительно, если мы временно забудем о постоянном токе $i$, который не создает напряжений и, следовательно, не влияет на другие процессы в цепи, то контуры оказываются в одинаковом начальном состоянии - по катушке течет ток $I_{0}/2$, а конденсатор незаряжен. После замыкания ключа начнутся синхронные колебания с частотой $\omega$ и амплитудой тока $I_{0}/2$:
$i_{1}(t) = i_{2}(t) = \frac{I_{0} }{2} \cos \omega t$.
Чтобы найти полные токи в катушках, надо вспомнить о постоянном токе $i$ и добавить его с нужным знаком.
$I_{1}(t) = i_{1}(t) + i = \frac{I_{0} }{2}( \cos \omega t + 1)$,
$I_{2}(t) = i_{2}(t) - i = \frac{I_{0} }{2}( \cos \omega t - 1)$.