2020-01-08
Бытовой холодильник поддерживает в камере постоянную температуру $-12^{ \circ} C$. При температуре в комнате $+ 25^{ \circ} С$ его мотор включается каждые 8 минут и, проработав 5 минут, выключается. Считая холодильник идеальной тепловой машиной, работающей по обращенному циклу, предскажите - как часто и на какое время он станет включаться, если в комнате температура понизится до $+ 15^{ \circ} С$. При какой максимальной температуре в комнате он сможет поддерживать в камере заданную температуру?
Решение:
Разность температур $\Delta T$ снаружи и внутри холодильника и длительность паузы $\tau_{2}$ связаны соотношением
$\tau_{2} \Delta T = const$. (1)
Для идеальной холодильной машины справедливо равенство
$\frac{A}{Q} = \frac{ \Delta T}{T}$,
где $A$ - работа двигателя, $Q$ - количество теплоты, отнимаемое от содержимого холодильной камеры, $T$ - температура камеры. Очевидно, что работа, совершаемая двигателем, пропорциональна времени $\tau_{1}$ работы мотора -
$A \sim \tau_{1}$,
а отнимаемое количество теплоты пропорционально полному "периоду" ($\tau_{1} + \tau_{2}$) и разности температур -
$Q \sim ( \tau_{1} + \tau_{2} ) \Delta T$,
поэтому можно записать
$\frac{ \tau_{1} + \tau_{2} }{ \tau_{1} } ( \Delta T)^{2} = T = const$. (2)
Подставляя в равенства (1) и (2) значения $\tau_{1}$ и $\tau_{2}$ для первого случая, а $\Delta T$ для обоих случаев, найдем новые значения $\tau_{1}^{ \prime}$ и $\tau_{2}^{ \prime}$ для второго случая:
$\tau_{1}^{ \prime} = 2 мин, \tau_{2}^{ \prime} = 4,1 мин$.
Максимально возможную температуру в комнате находим из условия $\tau_{2}^{ \prime \prime} = 0$.
$\Delta T_{max} = \Delta T \sqrt{ \frac{8}{5} } = 46,8 К$,
$t_{max} = 34,8^{ \circ} С$.