2020-01-08
Из нескольких одинаковых $CL$-звеньев, подключенных друг за другом. собрана цепь для измерений на частоте 50 Гц (pиc.). К выходу последнего звена был подключен конденсатор, после чего ток, потребляемый всей цепью от источника, и разность фаз между этим током и приложенным напряжением перестали зависеть от числа подключенных звеньев. Какую емкость $C$, имел подключенный конденсаторе. Можно ли дать однозначный ответ на этот вопрос?
Решение:
Ясно, что выполнить условие задачи можно только в том случае, когда одно $CL$-звено с подключенным к нему конденсатором будет эквивалентно (на выбранной частоте) этому конденсатору. Построим векторную диаграмму для этого участка цепи (рис.).
Нарисуем вектор $\vec{U}$ - он изобразит напряжение на $C_{x}$. Теперь можно нарисовать векторы токов через $L$ и $C_{x}$ (они направлены противоположно) и суммарный ток $I_{0}$ - он течет от источника через конденсатор $C$. Затем изобразим вектор напряжения на $C$ и, наконец, вектор суммарного напряжения на входе звена - сумму напряжений на $C$ и $C_{x}$ (разумеется, с учетом знаков).
Теперь немного арифметики:
$I_{L} = \frac{U}{ \omega L}, I_{C_{x}} = U \omega C_{x}, I_{0} = \frac{U}{ \omega L} - U \omega C_{x}, U_{0} = \frac{I_{0} }{ \omega C } - U = \frac{I_{0} }{ \omega C{x}}$.
Связь между амплитудами напряжения и тока для всей цепи такая же, как для конденсатора $C_{x}$. Отсюда можно найти $C_{x}$, только удобнее в качестве неизвестной величины рассмотреть связанное с ней емкостное сопротивление $X = \frac{1}{ \omega C_{x}}$. Относительно него получаем уравнение
$X^{2} - \frac{X}{ \omega C} + \frac{L}{C} = 0$,
откуда
$X = \frac{1}{2 \omega C} \pm \sqrt{ \frac{1}{4 \omega^{2} C^{2} } - \frac{L}{C} } = \frac{1}{ \omega C} ( 0,5 \pm \sqrt{0,25 - \omega^{2}LC } )$,
$X_{1} = \frac{1}{1,25 \omega C}, X_{2} = \frac{1}{9 \omega C}$,
$C_{x1} = 1,125 C, C_{x2} = 9C$.
Видно, что возможны два ответа - два значения емкости, удовлетворяющие условию задачи. Конечно, результат этот неочевиден и нуждается в проверке. Можно, например, построить векторные диаграммы для полученных конкретных значений и убедиться, что все в порядке. Я это сделал - и убедился, попробуйте и вы.
И еще: бесконечная цепь, составленная из резисторов, имеет вполне определенное сопротивление - там не может быть нескольких ответов.