2020-01-08
На наклонной плоскости с углом $\alpha$ и коэффициентом трения $\mu$ лежит небольшая шайба массой $M$, на которой помещен заряд $Q$. Однородное магнитное поле с индукцией $B$ перпендикулярно наклонной плоскости, как показано на рисунке. Шайбу отпускают без начальной скорости. Определите величину и направление ее установившейся скорости.
Решение:
Сразу заметим, что, если $\mu \geq tg \alpha$, шайба вообще не поедет. Поэтому будем обсуждать случай $\mu < tg \alpha$.
Рассмотрим силы, действующие на шайбу и лежащие в плоскости, составляющей угол $\alpha$ с горизонтом (рис. ). Это - составляющая $\vec{F}_{ \tau}$ силы тяжести, направленная по плоскости вниз и равная $F_{ \tau} = Mg \sin \alpha$, сила трения $\vec{F}_{тр}$, направленная против скорости $\vec{v}$ шайбы и равная $\vec{F}_{тр} = \mu Mg \cos \alpha$, и магнитная сила $\vec{F}_{м}$, перпендикулярная скорости $\vec{v}$ и равная $F_{м} = QvB$. При установившемся движении векторная сумма всех трех сил равна нулю:
$\vec{F}_{ \tau} + \vec{F}_{тр} + \vec{F}_{м} = 0$.
или, учитывая перпендикулярность сил $\vec{F}_{тр}$ и $\vec{F}_{м}$,
$\vec{F}_{ \tau}^{2} = \vec{F}_{тр}^{2} + F_{м}^{2}$.
Отсюда находим величину установившейся скорости:
$v = \frac{Mg}{QB} \sqrt{ \sin^{2} \alpha - \mu^{2} \cos^{2} \alpha }$
и угол между векторами $\vec{v}$ и $\vec{F}_{ \tau}$:
$\beta = arcsin \frac{ \mu}{ tg \alpha}$.