2020-01-08
В схеме, приведенной на рисунке, емкости конденсаторов равны $C$, сопротивления резисторов - $R$ и $2R$. Какой заряд протечет через перемычку АВ после подключения батарейки с напряжением $U_{0}$? А если между точками А и В включен резистор $R$? Все элементы считать идеальными.
Решение:
Вначале разберем случай с перемычкой (ее сопротивление равно нулю). Каждый из конденсаторов, в конце концов, будет заряжен до напряжения $U_{0}$, т. е. через резисторы пройдет заряд
$q = 2CU_{0}$,
Однако ток, текущий через $R$, в любой момент в два раза больше тока через $2R$. Таким образом, через перемычку пройдет заряд
$Q = q_{R} - q_{C} = \frac{2}{3}q - \frac{1}{2}q = \frac{CU_{0} }{3}$.
Теперь обсудим общий случай - сопротивление перемычки не равно нулю. Рассмотрим некоторый момент времени, когда батарейку уже подключили, но равновесие еще не установилось (рис.). Ток, текущий через резистор $R$ (перемычка), равен
$I = \frac{ \phi_{A} - \phi_{B} }{R} = \frac{q_{1} - q_{2} }{RC}$.
За малый промежуток времени $\Delta t$ произойдут следующие изменения зарядов:
$\frac{U_{0} - \phi_{A}}{R_{1} } \Delta t = I \Delta t + \Delta q_{1}$,
$\frac{U_{0} - \phi_{B}}{R_{2} } \Delta t + I \Delta t = \Delta q_{2}$,
Домножим первое равенство на $R_{1}$, второе - на $R_{2}$ и вычтем одно из другого. В результате получим
$I \Delta t = \frac{R_{2} \Delta q_{2} - R_{1} \Delta q_{1} }{R_{1} + R_{2} + R_{3} }$.
Суммируя по всем промежуткам времени $\Delta t$ и учитывая, что после установления равновесия заряды на конденсаторах будут одинаковыми и равными $q_{1} = q_{2} = q =CU_{0}$, найдем искомый заряд:
$Q = \frac{(R_{2} - R_{1} )CU_{0} }{R_{1} + R_{2} + R } = \frac{CU_{0} }{4}$.